Открыто-замкнутое множество

Открыто-замкнутое множество — множество топологического пространства, которое является одновременно замкнутым и открытым.

Множество является открыто-замкнутым, если оно совпадает со своими внутренностью и замыканием.

Топологическое пространство $X$ является связным, если и только если единственными замкнутыми и открытыми множествами являются пустое множество и само $X$. Множество открыто-замкнуто, если и только если его граница пуста. Любое открыто-замкнутое множество является объединением (возможно, бесконечного числа) связных компонент. Топологическое пространство $X$ является дискретным, если и только если все его подмножества открыто-замкнуты.

Если использовать объединение и пересечение в качестве операций, то открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства $X$ образуют булеву алгебру. Каждая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства (теорема Стоуна о представлении булевых алгебр).

Примеры

В любом топологическом пространстве $X$ пустое множество и всё пространство $X$ являются открыто-замкнутыми множествами.

В пространстве $(a,b)\cup (a',b')$ ($a\leqslant b\leqslant a'\leqslant b'\in \mathbb {R}$) с естественной топологией вещественной прямой интервалы $(a,b)$ и $(a',b')$ одновременно открыты и замкнуты; это типичный пример: когда пространство состоит из конечного числа дискретных связных компонент, компоненты оказываются открыто-замкнутыми.

Если $X$ — бесконечное множество с метрикой $d_{X}$, введённой на нём следующим образом:

$d_{X}(p,q)={\begin{cases}1,\quad p\neq q\\0,\quad p=q\\\end{cases}}$,

то любое одиночное множество в метрическом пространстве $(X,d_{X})$ — синглетон — открыто, следовательно, любое множество, будучи объединением синглетонов, также открыто, то есть все множества в таком пространстве открыто-замнктуы.

В пространство $\mathbb {Q}$ всех рациональных чисел с их естественной топологией и множеством $A=\{q\in \mathbb {Q} \mid q>{\sqrt {2}}\}$, используя тот факт, что ${\sqrt {2}}$ не принадлежит $\mathbb {Q}$, можно показать, что $A$ является открыто-замкнутым в $\mathbb {Q}$ подмножеством (при этом $A$ не является открыто-замкнутым подмножеством вещественной прямой $\mathbb {R}$ — оно ни открыто, ни замкнуто в $\mathbb {R}$).

Литература

• Открыто-замкнутое множество — статья из Математической энциклопедии
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
• Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.