Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене

Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене (в русском языке также распространено написание Осцилляции Шубникова — де Гааза) впервые наблюдали в 2005 году. Эффект заключается в периодическом изменении сопротивления или проводимости электронного или дырочного газа как функции обратного магнитного поля. Он связан с осциллирующим поведением плотности состояний в магнитном поле.

Период осцилляций

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении релятивистских уровней Ландау s и s + 1 можно записать для электронов на уровне Ферми ($\varepsilon _{F}$) следующие соотношения:

$\varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s}{\sqrt {s}},$

$\varepsilon _{F}=\hbar \omega _{c}^{s+1}{\sqrt {s+1}},$

где «циклотронная частота» $\omega _{c}^{s}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B_{s}}}}=v_{F}{\sqrt {\frac {2eB_{s}}{\hbar }}}$, а магнитная длина $l_{B_{s}}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB_{s}}}}$, $s$ — натуральное число 1, 2, 3, …, $v_{F}$ — фермиевская скорость, $\hbar$ — постоянная Планка, $e$ — элементарный заряд, $B_{s}$ — магнитное поле, соответствующее s-му уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна $n={\frac {g_{s}g_{v}\varepsilon _{F}^{2}}{4\pi \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}$. Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам), получим

$\pi \hbar ^{2}n={\frac {\varepsilon _{F}^{2}}{v_{F}^{2}}}=2seB_{s}\hbar ,$

или

$s={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s}}},$

$s+1={\frac {\pi \hbar n}{2eB_{s+1}}}.$

Вычитая из последнего равенства предпоследнее, найдём соотношение для периода осцилляций $\Delta B_{s}^{-1}$:

$1={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\left({\frac {1}{B_{s+1}}}-{\frac {1}{B_{s}}}\right)={\frac {\pi \hbar n}{2e}}\Delta B_{s}^{-1}.$

Здесь можно определить концентрацию носителей через период:

$n={\frac {2e}{\pi \hbar \Delta B_{s}^{-1}}}$

или фундаментальную частоту $B_{F}$

$n={\frac {2e}{\pi \hbar }}B_{F}.$

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

Теория Гусынина — Шарапова

В статье Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

$\sigma _{\text{osc}}={\frac {4e^{2}|\mu |}{\pi }}{\frac {(\mu ^{2}-\Delta ^{2}+\Gamma ^{2})\Theta (\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{(\hbar v_{F}^{2}eB)^{2}+(2\mu \Gamma )^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi k(\mu ^{2}-\Delta ^{2}-\Gamma ^{2})}{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right)R_{T}(k,\mu )R_{D}(k,\mu ),$

где $\mu$ — химический потенциал, $\Delta$ — ширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), $\Gamma$ — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), $\Theta (x)$ — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

$R_{T}(k,\mu )={\frac {2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB}{\sinh(2\pi ^{2}kT\mu /\hbar v_{F}^{2}eB)}},$

а множитель Дингля

$R_{D}(k,\mu )=\exp \left({\frac {-2\pi k|\mu |\Gamma }{\hbar v_{F}^{2}eB}}\right).$

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности. В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау ($\mu ^{2}\gg \Delta ^{2}+\Gamma ^{2}$), и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой, полученной ранее.