Основное тригонометрическое тождество
Основное тригонометрическое тождество — соотношение , выполняющееся для произвольного значения [1]. Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице[2].
Доказательства
правитьИспользуя единичную окружность
правитьЕдиничная окружность с центром в начале координат определяется уравнением [3]. Пускай на окружности лежит точка, расположенная под углом от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: . Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: [4].
Используя прямоугольный треугольник
правитьПо определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой получаем:
Возведём эти выражения в квадрат и прибавим
Согласно теореме Пифагора, следовательно [5].
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Lawrence Leff. PreCalculus the Easy Way (англ.). — Barrons Educational Series, 2005. — P. 296. — 466 p. — ISBN 978-0-7641-2892-9. Архивировано 24 января 2024 года.
- ↑ Proof of the Pythagorean trig identity (англ.). Khan Academy. Дата обращения: 24 января 2024. Архивировано 24 января 2024 года.
- ↑ Cynthia Y. Young. Algebra and Trigonometry (англ.). — Wiley, 2010. — P. 210. — 1345 p. — ISBN 978-0-470-57727-1. Архивировано 24 января 2024 года.
- ↑ Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw. §6.2 The sine, cosine and tangent functions // Contemporary Precalculus: A Graphing Approach (англ.). — 5th ed. — Cengage Learning, 2008. — P. 442. — 1096 p. — ISBN 978-0-495-10833-7.
- ↑ Pythagorean Identities (англ.). Cuemath. Дата обращения: 24 января 2024. Архивировано 24 января 2024 года.