Объёмный модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости (другие названия: модуль объёмного сжатия, модуль всестороннего сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет связь между относительным изменением объёма тела и вызвавшим это изменение давлением. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа; это число показывает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление величиной 20 МПа. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20 000 часть. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: «Па»; международное: «Pa»).

Определение

Модуль объёмной упругости определяется формулой:

$K=-V{\frac {dp}{dV}},$

где $p$ — давление, а $V$ — объём.

Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия.

Можно показать, что в случае изотропного тела модуль объёмной упругости может быть выражен через любые две из нижеперечисленных величин: модуль Юнга $E$, коэффициент Пуассона $\nu$, модуль сдвига $G$, первый параметр Ламэ $\lambda$:

$K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}.$

$K={\frac {EG}{3(3G-E)}}.$

$K={\frac {E+3\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{6}}.$

$K={\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}.$

$K={\frac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}.$

$K=\lambda +{\frac {2G}{3}}.$

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический $K_{T}$), при постоянной энтропии (адиабатический $K_{S}$) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа $p={\frac {\mathrm {const} }{V}}$ следует:

$K_{T}=P\,.$

Используя уравнение адиабаты $p\,\cdot V^{\gamma }=\mathrm {const} ,$ можно получить

$K_{S}=\gamma P,$

где $\gamma$ — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K и плотность ρ определяют скорость звука c (волны давления), согласно формуле Ньютона — Лапласа

$c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.$

Измерение

Объёмный модуль упругости можно измерить с помощью порошковой рентгеновской дифракции, акустополяризационного метода (для твёрдых сред).

Некоторые значения

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (К) для некоторых материалов

Материал	Объёмный модуль упругости в ГПа
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)	от 35 до 55
Сталь	160
Алмаз	442

Влияние некоторых примесей, добавляемых в стекло, на его объёмный модуль упругости

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (K) для других веществ

Вода	2,2⋅109 Па (значение возрастает при более высоких давлениях)
Воздух	1,42⋅105 Па (адиабатический объёмный модуль упругости)
Воздух	1,01⋅105 Па (изотермический объёмный модуль упругости)
Твёрдый гелий	5⋅107 Па (приблизительно)