Обсуждение:Тригонометрические функции/Архив/2012

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Неверная формула в тригонометрии?

Подозрение вызывает набор в четыре формулы из абзаца Формулы сложения. Пробовал подставить числа. По логике cos(8-3) == cos(3+2). Пытался высчитать по приведенной формуле на калькуляторе (http://web2.0calc.com/), вот, что вышло: cos(3)*cos(2)+sin(2)*sin(3) = 0.99984769515639 cos(8)*cos(3)-sin(8)*sin(3) = 0.98162718344766 109.234.30.110 11:58, 6 февраля 2012 (UTC)

Насчёт параграфа "Значения тригонометрических функций для некоторых углов"

Кому-то совсем делать нечего? Развлекаться с матпакетами большого ума не надо. Вот если бы вы привели точное значение любой тригонометрической функции, кратной pi/257 или pi/65537, вам бы цены не было. Mystery train 19:05, 19 апреля 2012 (UTC)

А не ошибка ли?

Здравствуйте, в математике не силен, однако, в таблице "Значения тригонометрических функций для некоторых углов" есть опечатка. Значение tg для угла в 30 градусов составляет 1/(корень 3), а не 3/(корень 3). Т.к. tn - sin/cos, а sin и cos 30 градусов равны соответственно 1/2 и (корень 3)/2, то видно, что 2 сокращаются, и мы имеем 1/(корень 3). Исправить это не могу (ввиду собственной криворукости). Спасибо за внимание=) 91.79.183.247 20:47, 5 июня 2012 (UTC)

Да, вы правы, там были ошибки, спасибо. Я поправил — надеюсь, теперь всё правильно. — Adavyd 21:13, 5 июня 2012 (UTC)

произведения тригонометрических функций трёх углов через их сумму

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Неясно, зачем чесать левое ухо правой рукой и использовать угол бета+гамма-альфа. Причём безо всякого объяснения. Я вывел те же формулы без использования такого угла. И вообще, почему в одних местах есть пояснения о том, как осуществлять вывод формул, а в других нет. Неужели это авторами статьи считается менее вжным и интересным? Я лично думаю иначе и полагаю, что не повредило бы. — Эта реплика добавлена с IP 78.56.193.77 (о)

Как я понимаю, вопросы к этому блоку формул:

$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.$

Но что с ними не так, лично я из поста не понял. В чём собственно проблема и что вы предлагаете? --Pintg 18:25, 5 октября 2012 (UTC)

1) Да, речь об этих формулах. Вот мой вариант и при том все сходится — можете проверить посчитав выражения для косинусов сумм четырех углов в представленных комбинациях знакочередования (в скобках).

$\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\alpha -\beta -\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )}{4}}$

$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\alpha -\beta -\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )}{4}}$

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta -\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}$

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha -\beta -\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}$

Как мне кажется использование именно такого знакочередования углов в скобках наиболее мотивированно и может быть более понятным для учащихся, студентов профессионалов и неспециалистов. Мало того, то, что и этот вариант имеет право на существование и правилен, показывает тот факт, что если вы положите в формулах для произведения синусов и косинусов все углы равными альфа (то есть друг другу), то вы в точности придете к формулам синуса в кубе и косинуса в кубе, которые представлены у Вас. Аналогично с произведением косинусов четырех углов черех сумму

$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \cos \delta ={\frac {\cos(\alpha -\beta -\gamma -\delta )+\cos(\alpha -\beta -\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta -\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma +\delta )+\cos(\alpha -\beta +\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha -\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha +\beta -\gamma -\delta )}{8}}$

Положив в них все углы равными друг другу мы в точности придем к формуле косинуса в четвертой степени представленной у Вас. Но что касается синуса в четвертой, то у меня возникла проблема с выражением произведения четырех синусов через сумму, в связи с чем у меня к Вам просьба: не могли бы Вы пошагово выложить здесь, в обсуждении, всю раскладку процесса выведения данной формулы?

2) Вся статья носит слишком формальный характер. Формат Википедии позволяет существенно расширить ее и дополнить все представленные здесь формулы их подробными выведениями, начиная с основ. В противном случае, чем эта и другие им подобные статьи отличаются от справочников, где можно найти такой же список формул?

3)" Для функций от аргумента $x$ существует представление:

$A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),$

где угол $\phi$ находится из соотношений:

$\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$" — а это вообще относится к теме решений тригонометрических уравнений. В данном случае речь идет об уравнении $A\sin \ x+B\cos \ x=C$

с помощью введения вспомогательного аргумента — угла прямоугольного треугольника и представлении исходного уравнения в виде синуса суммы (или косинуса разности). Кроме того, даже, если на это не обращать внимания, мне не понятен смысл именно такого представления. Алгебраически все грамотно, но какой в нем прок?

4) Следующий мой вопрос касается вот этих тождеств из тех, что были выведены для синуса и косинуса двойного аргумента

$\sin 2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }},$

$\cos 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},$

Здесь явно использована формула выражения тригонометрических функций через котангенс половинного угла, подобно тому, как в предыдущих была использованы формулы выражения их через тангенс половинного угла. Вопрос: почему в секции про однопараметрическое представление ф-ции были выражены через тангенс половинного угла, а вот через котангенс половинного - нет?

P.S. Не понимаю, почему не выводится окрашенное красным математическое выражение, что за ремарка "неясен лексический смысл"?. Исправьте, пожалуйста. 178.236.197.137 18:15, 10 октября 2012 (UTC)18:24, 10 октября 2012 (UTC)~ 81.7.104.121 16:31, 11 октября 2012 (UTC)

• Вместо латиницы была кирилица. --Pintg 11:37, 12 октября 2012 (UTC)

1) На первый взгляд у вас одни и те же формулы, но сами формулы и слагаемые приведены в различном порядке. Лучше привести его в таком виде, как оно приводится в справочниках. Желательно с ссылкой на конкретный справочник.

2) Просто ни у кого руки не дошли. Вы сами можете это сделать. Да и сылки на доступные он-лайн справочники будут не лишними. Если решили плотно заняться этим вопросом, то я бы вам рекомендовал зарегистрироваться, тогда с вами будет проще работать другим редакторам.

3) Можно добавить в статью Тригонометрические уравнения, но из этой статьи я бы их пока не удалял.

4) Не понял, что вы собственно предлагаете изменить. --Pintg 11:37, 12 октября 2012 (UTC)

К сожалению, у меня нет времени для редактирования статей Википедии, но так как я в настоящее время заинтересовался тригонометрией и мне попалась на глаза эта статья, то прочитав ее, у меня возникли кое-какие вопросы и замечания.

1) Вот источника привести не могу, так как, как Вы уже могли понять, этим источником являюсь я. Что до справочников и прочего, то как раз в том и дело, что там просто выкладываются формулы, но не дается их подробный вывод, по сути предлагается механическое заучивание. А я против этого, кроме того меня всегда интересовал процесс появления тех или иных формул - начиная с простейших и заканчивая сложными. И именно выведение формул есть наилучший способ их не только запоминания, но и - самое главное- досконального понимания, что в математике важнее всего.В данном случае мое личное понимание для меня оказалось выше того, что излагается в справочниках, не ясен смысл записи одного из углов в виде $(\beta +\gamma -\alpha )$, как я уже продемонстрировал, вполне можно обойтись тем вариантом, к-ры записал я - он правилен и корректен и проверяется через синус и косинус в кубе и в четвертой степени. А каком источнике Вы нашли эти формулы в таком виде и есть ли ТАМ подробный их вывод?

1.1 Так Вы можете помочь мне вывести формулу выражения произведения синусов четырех углов через сумму, здесь в обсуждении (дело не только в статье)?

1.2 Предложение: поместить мой вариант четырех формул в качестве одного из альтернативных вместе с оригинальным. Возможно ли это?

3) и 4) Я не предлагаю ничего удалять. Я предлагаю добавить представление тригонометрических ф-ций через котангенс половинного аргумента вместе с процессом их вывода, алгоритм оперций тот же, что и для тангенса половинного аргумента. При необходимости могу дать ссылку на интернетовские источники для выведения формул тригонометрических ф-ций через тангенс половинного, косинуса\синуса суммы\разности и всех остальных тождеств и формул тригонометрии.212.122.74.153 14:47, 12 октября 2012 (UTC)

Приведённые формулы произведений синусов-косиносов даны в редакции справочника Двайта (указан в разделе «Литература», стр. 71, формулы 402.03—402.06) с той лишь разницей, что в справочнике вместо греч. букв даны А, В и С, а четвёрка там перенесена в левую часть, т.е. $4\,\sin A\,\sin B\,\sin C=\dots$ ну и т. д. Но я, как и Pintg, пока не понимаю преимуществ вашего варианта. А вывод этих формул вам никто не запрещает добавить в статью. Обычно вывод делаётся в скрываемых блоках, см. например, Признаки делимости#Общие принципы построения, в конце этого раздела. Тогда глубоко интересующийся читатель отроет блок, а тем, кому требуется только сама формула, раскрывать его не будет. А если информации наберётся черезчур много, можно будет вынести её в отдельную статью про формулы произведений синусов-косиносов. -- Sergey kudryavtsev 08:44, 14 октября 2012 (UTC)

А вывод как вы делали? Я, помниться, делал так: $\left(\sin \alpha \sin \beta \right)\sin \gamma ={\frac {\cos(\alpha -\beta )\sin \gamma -\cos(\alpha +\beta )\sin \gamma }{2}}=\dots$, ну а дальше применял формулу произведения синуса на косинус. В результате получалась формула для $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$. Таким манером можно получить формулы для произведений бо́льшего числа множителей. Вы также делали? -- Sergey kudryavtsev 09:18, 14 октября 2012 (UTC)

Что касается моего варианта, то как я указывал, там более понятен принцип выбора комбинаций знаков при углах в скобках: только и делов - перебирать все возможные комбинации сочетаний знако при углах не меняя их буквенного порядка в соответствии с греческим алфавитом - сначала альфа, затем бета, гамма и так далее. Это для меня более понятно, нежели неизвестно по какой причине появившаяся инверсия бета плюс гамма МИНУС альфа. Ну зачем тут эта "минус альфа"? Если бы этот Двайт объяснил бы это, то тогда все было бы в порядке. К тому же возникает вопрос, а сколько у нас в стране человек держали в руках этот справочник и насколько вид приводимых там тождеств совпадает с тем, которые известны по отечественным справочникам, учебникам и пособиям?

А вывод я делал по образу и подобию вывода для выражения произведения двух функций через сумму,то есть старался подметить основные моменты уж не знаю насколько точно у меня это вышло - и перенести набольшее число слагаемых. То есть, сначала брал все возможные комбинации знакочередования углов (3х,4ч - в зависимости от число сомножителей выражаемых через сумму), потом "брал на заметку" отдельные слагаемые в виде произведений соотв. ф-ций в общей череде слагаемых, получающихся после раскладывания тождеств для суммы/разности косинусов и синусов 3х и 4х углов и выражал их путем складывания этих тождеств так, чтобы "ненужные слагаемые" обратились в нуль, а "нужное" - осталось в кратном виде. Надеюсь, мое объяснение понятно, хотя допускаю, что этот метод довольно сложен и топорен, но... изучу и Ваш - спасибо, что поделились. 81.7.104.121 17:01, 16 октября 2012 (UTC)81.7.104.121 17:02, 16 октября 2012 (UTC)

"Я, помниться, делал так: $(\sin \alpha \sin \beta )\sin \gamma ={\frac {\cos(\alpha -\beta )\sin \gamma -\cos(\alpha +\beta )\sin \gamma }{2}}=\dots$, ну а дальше применял формулу произведения синуса на косинус." - Сергей, Вы точно имели в виду не формулу произведения КОСИНУСА НА СИНУС, а не СИНУСА НА КОСИНУС,y меня вышло так: $(\sin \alpha \sin \beta )\sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha -\beta -\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )}{4}}$

$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta -\gamma )}{4}}$ - для трех множителей косинусов

$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \sin \delta ={\frac {\cos(\alpha -\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha -\beta +\gamma +\delta )-\cos(\alpha -\beta -\gamma -\delta )-\cos(\alpha -\beta -\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma +\delta )-\cos(\alpha +\beta -\gamma +\delta )-\cos(\alpha +\beta -\gamma -\delta )}{8}}$ - для четырех множителей синусов.

Все это правильно?81.7.104.121 15:41, 18 октября 2012 (UTC)

"Сергей, Вы точно имели в виду не формулу произведения КОСИНУСА НА СИНУС, а не СИНУСА НА КОСИНУС" - произведение не зависит от порядка слагаемых, я имел ввиду формулу $\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}.$ Проверять ваш результат не хочу, это мне не интересно и занимёт много времени, которого всегда мало. Если вы подставили и сделали преобразования аккуратно, то формулы должны быть верными. Я же привёл вам способ для того, чтобы показать, что думающий человек формулы эти может легко вывести из формул для произведений двух тригонометрических функций. Поэтому не стоит ломать копья в том, какая запись результата лучше. Pintg как раз и отмечал, что лучше брать формулы из справочников, чтобы обеспечить более лёгкую проверяемость формул. -- Sergey kudryavtsev 09:22, 19 октября 2012 (UTC)

Зря Вы не хотитие проверять - дьявол в мелочах: при выведении формулы произведения 3 синусов используется не формула произведения синуса на косинус, которую привели Вы - это неправильно -, а именно формула произведения косинуса на синус $\cos \alpha \sin \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$ Далее, я уже отмечал, что сильнь сомневаюсь, что очень уж многие наши граждане держали в руках справочник Двайта - например, я никогда в жизни не слышал о таком и вряд ли когда-нибудь буду иметь возможность держать его в руках. Поэтому не думаю, что статья может быть основана на таком источнике. Лучше привести отечественный источник, а если их там нет, то не обязательно опираться на источник можно просто написать, что для большего числа сомножителей тригонометрических функций алгоритм выведения формуд такой же,как в показанных примерах для двух.81.7.104.121 15:05, 22 октября 2012 (UTC)

Страницы обсуждения должны использоваться для написания статей, всё прочее запрещено правилом ВП:НЕФОРУМ. Ваши личные выкладки (как и выкладки любого другого редактора Википедии) не могут быть использованы для написания статьи по правилу ВП:ОРИСС. Я буду очень рад если вы поможете в написании статьи, но математическими выкладками мы тут заниматься не будем. Надеюсь на ваше понимание. --Pintg 17:56, 22 октября 2012 (UTC)

Общий итог: текущее состояние статьи

Текущее состояние статьи неудовлетворительное. Напоминаю о том, что

Предлагаю следующий критерий: сохранить те базовые формулы, которые имеются в школьных и инженерных справочниках — скажем, Выгодского и Корна,— а на прочие формулы дать отдельную ссылку (кому-то и они будут полезны). Кроме того, мне представляется логичным вначале написать Викиучебник, а потом, когда распределение материала окончательно цементируется, заняться этой статьёй.

— LGB 11:41, 23 марта 2012

Таким образом, статья будет мною существенно изменена (в указанном мною направлении) вместе с другими, сопутствующими ей статьями Википедии и Викиучебника. --OZH 17:31, 29 октября 2012 (UTC)

• Уважаемый участник, OZH, вы сделали очень ультимативное заявление. Предже чем вы удалите какую-либо информацию из Википедии, я вас попрошу обосновать, опираясь на правила Википедии, почему её не должно быть в статье. --Pintg 17:42, 29 октября 2012 (UTC)
  • Я не собираюсь что-либо удалять. Весь вопрос — в грамотном распределении материала. Всё-таки, энциклопедическая статья должна быть изложением вопроса, а не одним только перечислением формул. С ответным уважением, OZH 11:26, 30 октября 2012 (UTC)
    • Перенос на другой, пусть и родственный ресурс — это удаление с Википедии. Удаление приведённых формул не добавит грамотности осещения вопроса. Статью нужно дополнять недостающей информацией, но не наоборот. --Pintg 14:00, 30 октября 2012 (UTC)
      • Никто не говорит об удалении материала. Если Вы имеете в виду Викиучебник, то там просто будет иное изложение того же материала, что и в Википедии. Я хочу попробовать совместно написать статьи здесь и вики-учебник по тригонометрическим функциям там. Обилие формул в статье, где ожидается связный повествовательный текст, также «не добавит грамотности». Всё-таки, Википедия предназначена, в первую очередь, для изложения общих принципов. Также не следует забывать о соответствии между названием и содержанием статьи. В любом случае, перед совершением конкретных правок, существенно изменяющих распределение материала между различными статьями Википедии и меняющих композицию отдельных статей, я заранее сообщу. Мне бы не хотелось устраивать при редактировании этой статьи войн правок, не хотел бы отсиживаться и в личном пространстве, ибо рассчитываю на помощь других участников. Не вижу причин для беспокойства с чьей-либо стороны. :-) --OZH 18:27, 30 октября 2012 (UTC)
• Не понял, что нужно в этой статье делать? По-моему, статья достаточно хорошая (есть статьи где состояние много хуже). Правьте, конечно, смело. Не забывайте про АИ. РоманСузи 05:06, 31 октября 2012 (UTC)
  • Я не думаю, что статья может состоять из одних только формул, только если она не посвящена им. --OZH 15:44, 31 октября 2012 (UTC)
    • Формул, конечно, много, но они по делу. С помощью формул раскрываются различные аспекты тригонометрических функций. Или Вы полагаете, что статья улучшится, если вместо $A^{2}+B^{2}=C^{2}$ написать "сумма квадратов A и B равна квадрату C"? Можно ли узнать по какому АИ Вы будете вместо формул описывать тригонометрические функции именно в виде общих принципов? Я полагаю, что такой может быть, но мне не встречался. Я не против переделки статьи, но превращать ее в орисс тоже не стоит. Формулы хотя бы проверяемы по любому справочнику, а для общих принципов нужен подходящий АИ. РоманСузи 17:24, 31 октября 2012 (UTC)

А знаете, коллега OZH говорит правильную мысль. Действительно, формул слишком много. Все-таки это энциклопедия, а не математический справочник. А вот "широчайшее применение в самых разных областях науки" — совершенно не освещено. Взять хотя бы гармонические колебания и ряды Фурье — ни слова нет про них. Тилик-тилик 13:11, 20 февраля 2015 (UTC)

Формул много быть не может… без них тоже никуда (откройте любую энциклопедию, энцикл. справочник). сохранить те базовые формулы, которые имеются в школьных и инженерных справочниках… В школьных учебниках /справочниках/ их может быть меньше/больше в зависимости от узко-напрвленности темы предмета (от его раскрываемости). С ув. --Chevalier de Riban 10:25, 27 февраля 2015 (UTC)