Обсуждение:Независимость (теория вероятностей)

О роли вероятностной меры в свойстве независимости событий

Неправильные представления о различных понятиях теории вероятностей и математической статистики широко распространены среди не математиков, во многом благодаря тонким различиям между строгими определениями и нематематическими ассоциациями с математическим жаргоном, который часто используется для их изложения и пояснения. Один такой пример связан с понятием независимости событий.

Терминология "независимые события" имеет неудачный побочный смысл, следующий из понятия причинности, что либо одно событие влияет на другое, либо на оба влияет третье, подразумеваемое. В результате независимые события кажутся чем-то олицетворяющим своего рода информацию одного о другом, в то время как, математически говоря, в этом олицетворении нет необходимости (или даже истины). Математическое определение, что два события A и B независимы – это просто тот факт, что

$P(A\cap B)=P(A)P(B).\,$

Убедимся, что это соотношение не имеет никакого отношения к причинной зависимости, в следующем примере простых бернуллиевских испытаний. Пусть основное пространство состоит из двух исходов S и F ("успех" и "неудача") с вероятностями p и 1 − p соответственно (например, мы можем подбрасывать вездесущую "монету"). Наш эксперимент будет состоять из трех последовательных испытаний и мы рассмотрим события

$A=\{\,$ Исходы с не более, чем одной неудачей $\}=\{SSS,SSF,SFS,FSS\},\,$

$B=\{\,$ Исходы с одинаковыми результатами $\}=\{SSS,FFF\},\,$

так что

$A\cap B=\{SSS\}.\,$

Элементарные рассуждения показывают, что мы получаем

$P(A)=p^{3}+3p^{2}(1-p),P(B)=p^{3}+(1-p)^{3},P(A\cap B)=p^{3}.\,$

Равенство $P(A)P(B)=P(A\cap B)$ выполняется тогда и только тогда, когда

$(p^{3}+3p^{2}(1-p))(p^{3}+(1-p)^{3})=p^{3},\,$ или

$p^{2}(2p^{3}-5p^{2}+4p-1)=0\,$ (после алгебраических преобразований).

Это уравнение имеет три различных решения: $p=1/2$, $p=0$, и $p=1$, последние два – кратные корни. Отсюда следует, что «только» эти корни и есть те значения p, для которых A и B – независимые события. Однако, интуитивно, зависимость должна быть "декриптивным" качеством событий, в то же время здесь события, имеющие одно и то же дескриптивное описание, зависимы или независимы исключительно благодаря определяющей их вероятности.

Литература

• Стоянов Йордан (1999) Контрпримеры в теории вероятностей. — Издательский дом «Факториал». — 288с. ISBN 5-88688-041-0 (С. 29-30).

- Helgus 00:02, 26 мая 2006 (UTC)

Преамбула - это не заблуждение

Статья пишется для всех, и правилами Википедии требуется простое "определение" термина до формальных выкладок, чтобы люди могли понять. Это энциклопедия для всех, а не учебник мех-мата. Определение (1) в Вашей терминологии влечет, как написано на основной странице равенство условной и безусловной вероятностей (при условии, что вероятность B ненулевая), что в точности то, что говорит преамбула.

Более того, если Вы хотите быть педантом, то Ваше пояснение бессмысленно, ибо зависимость/независимость определяется после фиксации вероятностного пространства. Таким образом, "одни и те же" события на самом деле не одни и те же, ибо они определены на разных вероятностных пространствах. Менять же вероятность на фиксированном пространстве нельзя.

Ирония заключается в том, что Ваше объяснение "непонимания" других основано на Вашем собственном непонимании формализма теории вероятностей. В частности никаких "испытаний" в формальной теории вероятностей нет. Вы подразумеваете какое-то фиксированное вероятностное пространство. Опишите его точно, и Вы увидите, что нет никакого непонимания. Ваш пример сводится к тому, что в разных случаях разные события могут быть или не быть независимыми.

Color me surprised. :) ПБХ 02:02, 26 мая 2006 (UTC)

Подобными преамбулами вымощена дорога к заблуждениям:)

Дело не в педантизме, а в тривиальном прагматизме. Эти «все» («для которых пишется статья» и которые попадаются мне почти ежедневно: студенты и аспиранты), начитавшись подобных «понятных» и хорошо запоминающихся преамбул, только и запоминают эти доходчивые термины «знание» и «информация». В результате, например, на вопрос: «Как вы думаете, независимы ли два несовместных события?» ответ чаще всего — утвердительный:) Причем ответ «аргументированный» теми же терминами «знание» и «информация». Отсюда - чисто практический вывод: в просвещении неподготовленных умов надежнее не употреблять «лишних» терминов, а просто дать формулу:)

Вы правы, я погорячился: сама по себе такая преамбула, конечно, – не заблуждение, но прямой путь к нему.

Что касается Ваших замечаний о различных вероятностных пространствах, то эта деликатная область требует отдельного специального обсуждения.

Color me pragmatical:) - Helgus 05:44, 26 мая 2006 (UTC)

Что за глупость? Несовместные события по определению такие, что знание того, что произошло одно, означает, что другое точно произойти не могло. Это как раз идеальный пример того, когда "преамбула" дает очевидный и интуитивный правильный ответ. Гораздо более интересный пример - это является ли $\Omega$ независимым от $\Omega$. Вот тут многие начнут спотыкаться. Но не потому, что преамбула неверна, а потому, что они не читают или не понимают, что в точности она говорит (несмотря на всю её размытость). А именно, слово "дополнительной" там очень важно. Я, конечно, не рпотив определений, и в принципе согласен, что есть понятия, которые невозможно суммировать в паре слов. Но в данном случае преамбула - это просто сказанное словами утверждение, что $\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A)$, что почти в точности является определением. ПБХ 17:17, 26 мая 2006 (UTC)

Вот и я ИМ «ВСЕМ» говорю: "Что за глупость???":) А ОНИ «ВСЕ» повторяют и повторяют свой утвердительный ответ. Под "ВСЕМИ", для которых пишется статья, Вы, наверное представляете хорошо продвинутых студентов-математиков. Но большинство реальных "ВСЕХ" понимают термины "знание" и "информация" несколько по-своему. И упорствуют, и упорствуют в своем заблуждении... Мы с НИМИ «ВСЕМИ» говорим на разных человеческих языках. Мы привыкли вкладывать в термины "знание" и "информация" один смысл и связывать его определенным образом с понятиями "вероятность" и "условная вероятность" и т.п., а у НИХ у "ВСЕХ" все как-то иначе, наверное:)

Life is rarely as we would like it to be rather it is exactly as it is.

C’est La Vie!:) - Helgus 22:41, 26 мая 2006 (UTC)

Использование терминов «знание» и «информация»

Единственная вещь, которая смущает меня в тексте преамбулы, - это небольшая деталь – использование терминов «знание» и «информация». Эти термины не принадлежат к основным понятиям теории вероятности. По моему скромному мнению независимость событий лучше определять без этих терминов так:: “«два события независимы» интуитивно означает, что наступление одного из них [скажем A] не делает ни более вероятным, ни менее вероятным наступление другого [скажем B]”. А независимость случайных величин лучше определять так: “«две случайные величины независимы» интуитивно означает, что значение одной из них [скажем xi] не делает ни более вероятным, ни менее вероятным никакие значения другой [скажем xi’]”.

Кстати, англичане согласились с этими моими аргументами и убрали явно лишние термины "knowledge", "knowing", "information" из преамбулы своей статьи Statistical independence. - Helgus 00:01, 27 мая 2006 (UTC)

Да наплевать на англичан. :) Российская версия раздела теория вероятностей гораздо лучше. Уже. А будет еще больше. На самом деле я не против такого изменения. Сделайте, если хотите. ПБХ 15:08, 29 мая 2006 (UTC)

1) Дома давно не были. Ностальгия? А — на янки? :)

2) Ну, ладно, как скажете: с Вашего позволения. Если что, подправьте:)

- Helgus 21:07, 31 мая 2006 (UTC)

Предлагаю создать отдельные статьи о независимости событий и случайных событий, а здесь лишь оставить ссылки.

Я пришёл на эту страницу по ссылке в статье "Дисперсия случайной величины", расположенной в формуле для дисперсии суммы независимых случайных величин, и некоторое время пребывал в замешательстве, читая о независимости событий вместо независимости случайных величин.

Считаю, что в сатью необхадимо добавить определение независимости испытаний. Можно ещё добавить эквивалентное определение независимости N событий, исходя из определения независимости N испытаний. Иван Мельников 78.29.2.36 17:31, 11 октября 2008 (UTC)