Никомах Герасский

Никома́х из Гера́сы, Никома́х Гера́сский (др.-греч. Νικόμαχος ὁ Γερασένος) (первая половина II в. н. э.) — древнегреческий философ (представитель неопифагореизма), математик, теоретик музыки. Биографических сведений о Никомахе не сохранилось. Годы жизни Никомаха определяются с учётом хронологии Трасилла (ум. 36 н. э.), которого Никомах цитирует, и Апулея (124—175 н. э.), переводившего Никомаха на латынь. Гераса, в которой жил Никомах,— это современный Джераш на севере Иордании.

Никомах Герасский
др.-греч. Νικόμαχος Γερασηνός
Имя при рождении	др.-греч. Νικόμαχος
Дата рождения	около 60
Место рождения	Джараш, Сирия
Дата смерти	около 120
Страна	Древний Рим
Язык(и) произведений	древнегреческий язык
Род деятельности	математик, музыковед, теоретик музыки, философ
Период	Римская империя
Основные интересы	философия
Оказавшие влияние	Аристотель
Медиафайлы на Викискладе

Сочинения

Полностью сохранились «Введение в арифметику» (Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή) и «Руководство по гармонике» (Ἁρμονικὸν ἐγχειρίδιον). «Теологу́мены арифметики» (Θεολογούμενα τῆς ἀριθμητικῆς можно перевести как «Теологические размышления о числах») известны в пересказе Фотия и, кроме того, по фрагментам, включенным в анонимное сочинение под таким же названием (компиляция, выполненная на основе сочинения Ямвлиха с выдержками из Никомаха и Анатолия, учителя Ямвлиха). «Жизнь Пифагора» Никомаха впоследствии использовали в своих сочинениях на ту же тему Порфирий и Ямвлих. Из утраченных сочинений по названиям известны «Введение в геометрию», комментарий к «Государству» Платона и «большое сочинение» по гармонике. От последнего сочинения предположительно сохранились 10 фрагментов (т.наз. «Фрагменты Никомаха») в позднейшей анонимной обработке, опубликованные Карлом Яном.

Учение

По своим философским взглядам Никомах — приверженец платоновского учения, соединённого с пифагореизмом. Никомах математизирует платоновскую философию, соединяя учение Платона о «высшей идее блага», изложенное в «Государстве», со своего рода «высшей арифметикой», имеющей дело с божественными числами, парадигматически задающими космический порядок всего сущего.

«Введение в арифметику»

Основная статья: Введение в арифметику

«Введение в арифметику» представляет собой выдержанное в пифагорейско-платоновском духе краткое введение к изучению «математических» наук. Традиция такого рода сочинений восходит, по-видимому, к платоновской Древней Академии. Во всяком случае, уже Ксенократу принадлежали сочинения «О числах» и «Теория чисел», до наших дней не дошедшие, и они вполне могли содержать материал, схожий с тем, который рассматривается у Никомаха. «Изложение математических вещей, полезных при чтении Платона», написанное Теоном Смирнским приблизительно в то же время, что и «Арифметика» Никомаха, содержит в своей арифметической части примерно тот же самый материал и придерживается того же стиля изложения, что предполагает наличие каких-то общих источников.

В прологе «Арифметики» (I, 1-6) Никомах делит умопостигаемые сущности на (непрерывные, цельные, сплочённые) величины и (дискретные, составные, расположенные «словно в куче») множества, исследованием которых занимаются четыре «математические» науки — арифметика, геометрия, гармоника (то есть теория музыки) и сферика (то есть астрономия). В отличие от Платона (который ссылается на пифагорейцев) и «Послезакония», где единство математических наук скорее постулируется, чем доказывается, Никомах впервые в истории разрабатывает и даёт эпистемологическое и онтологическое доказательства такого единства наук как τέσσαρες μέθοδοι (четырёх путей) познания сущего, что и является целью философии. Как говорит Никомах, «эти науки суть лестницы и мосты, которые переносят наши умы от воспринимаемого чувством и мнением к постижимому мыслью и знанием; и от знакомых и привычных нам с детства материальных и телесных вещей — к непривычным и чуждым нашим чувствам, однако их нематериальность и вечность родственны нашим душам и, что ещё важнее, заключённому в них разуму» (I, 6, 6). Средневековый квадривий, таким образом, родился у Никомаха в специфическом философском контексте, который не имеет ничего общего с обычной «программой учебных занятий».

Арифметику Никомах называет самой старшей наукой, ибо она «предшествует остальным наукам в уме бога-творца как некий космический и образцовый замысел, опираясь на который, как на установление и изначальный образец, создатель вселенной упорядочивает свои материальные творения и приводит их к подобающим целям; а также потому, что по своей природе она является перворождённой, ибо с её уничтожением уничтожаются прочие науки, но сама она не уничтожается вместе с ними» (I, 4, 2).

Рассматриваемое в арифметике «научное число» (ἐπιστημονικὸς ἀριθμός) объявляется Никомахом божественной парадигмой космической гармонии: «Это число лишь мыслится, и оно во всех отношениях нематериально, но всё же оно является действительным и вечно сущим, так что в соответствии с ним, сообразуясь с планом творения, были созданы время, движение, небо, звёзды и всевозможные вращения [небесных тел]» (I, 6, 1).

Далее Никомах переходит к рассмотрению арифметики абсолютных количеств (I, 7-16), к ведению которой относятся чётные и нечётные, простые и составные, избыточные, недостаточные и совершенные числа. Здесь описываются решето Эратосфена для получения простых чисел, а также алгоритм последовательного взаимного вычитания для отыскания наибольшей общей меры двух чисел и приём построения чётных совершенных чисел. В арифметике относительных количеств (I, 17 — II, 5) вводится классификация числовых отношений и описывается алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства. Затем Никомах переходит к рассмотрению фигурных чисел: многоугольных, пирамидальных, плоских и телесных (II, 6-20). Завершается «Введение» (II, 21-29) обсуждением числовых пропорций.

Изложение арифметических фактов во «Введении» лишено доказательств, вместо них приводятся примеры с конкретными числами, что иногда приводит к неверным утверждениям. Так в II, 28 вводится среднее, противоположное гармоническому, в котором «больший из трёх членов так относится к меньшему, как разность между меньшими членами относится к разности между большими». Это понятие Никомах иллюстрирует примером чисел 6 5 3, а затем пишет: «Знай же, что особенность данного среднего состоит в том, что произведение большего и среднего членов здесь вдвое больше произведения среднего и меньшего членов, ведь 6×5 вдвое больше, чем 5×3». Однако из $a:c=(b-c):(a-b)$ не следует $ab=2bc$.

Число интересует Никомаха как философа-теоретика в качестве упорядоченной основы всего сущего. При этом единое оказывается «началом», «корнем», «семенем» и «матерью» числового множества, разворачиваемого из него по некоторому правилу. Прежде всего, таким образом разворачивается само число-счёт как «поток составленного из единиц количества». Но так же устроены и отдельные виды чисел.

Изучение арифметики для Никомаха имеет ярко выраженный этический характер. Описывая алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и обратного сведения всех неравенств к равенству, Никомах заключает это описание следующим выводом: «Разумная часть души приводит в порядок неразумную часть, её порывы и влечения, связанные с двумя видами неравенства, и посредством размышления подводит её к равенству и тождеству. А для нас из этого уравнивания прямо вытекают так называемые этические добродетели, каковые суть благоразумие, мужество, мягкость, самообладание, выдержка и подобные им качества» (I, 23, 4-5).

В античности «Введение в арифметику» Никомаха не раз комментировали (сохранились комментарии Ямвлиха, Асклепия из Тралл, Иоанна Филопона, известно также о комментариях Сотерика и Герона). Вскоре после смерти Никомаха «Арифметика» была переведена на латынь Апулеем (перевод не сохранился). Боэций перевёл «Арифметику» ещё раз и издал его в своей редакции (с дополнениями и толкованиями). Арифметика Никомаха послужила источником математических сведений для Марциана Капеллы, Кассиодора, Исидора Севильского и позднейших учёных, на нём основывалось преподавание арифметики в квадривиальном цикле средневековых университетов. Имеется также перевод никомаховой «Арифметики» на арабский язык, выполненный Сабитом ибн Коррой (2-я пол. IX в.).

«Теологумены арифметики»

В «Теологу́менах арифметики» обсуждалось символическое значение чисел первой десятки. Книга I была посвящена первой четвёрке чисел, книга II — остальным числам до десяти. Каждое число рассматривалось как в отношении к его индивидуальным математическим свойствам, так и в отношении к уподобляемым ему физическим, этическим и теологическим предметам. Согласно Никомаху, «Бог соответствует единице, ибо он семенным образом начинает всё сущее в природе, как единица — в числе»; он потенциально объединяет вещи, актуально представляющиеся противоположными, вбирает в себя «начало, середину и конец целого», подобно тому, как единица есть «начало, середина и конец количества и размера». Без единицы невозможно ни существование, ни познание: она «стоит во главе всех вещей наподобие чистого света, солнцеобразного и предводительного, так что во всём этом она подобна Богу» (3.1-14 de Falco). Единица, как её здесь описывает Никомах, тождественна идее блага в VI книге «Государства» Платона.

Далее, двоица есть начало и корень инаковости, и она противостоит единице, как материя — форме и богу. Троица представляет собой основу соразмерности, ведь соразмерность — это среднее между избытком и недостатком. Четверица есть «всё, что есть в мире вообще и по частям». И так вплоть до десятки, символизирующей «природное равновесие, соразмерность и совершенную цельность».

Благодаря сохранившемуся в «Библиотеке» Фотия изложению трактата известно, что в своём сочинении Никомах также предпринял попытку сопоставить числа первой десятки с пантеоном греческих богов и богинь, исходя из понимания «своеобразного и определённого количества» каждого числа. В результате каждому из чисел оказались сопоставлены списки не менее чем 150 божеств, мифологических персонажей и понятий.

«Руководство по гармонике»

Изображение Никомаха (справа) и Платона в рукописи XII в. из библиотеки Кембриджского университета. Платон держит в руках большую книгу под названием Musica; одноименная книга у Никомаха размером поменьше. По периметру миниатюры гекзаметрами написано:
   Платон, высший из этих философов, поучает,
   Как равенство неравного дает Единое в звуках.
   Ему в теории ревностно следует Никомах.

«Руководство по гармонике» представляет собой конспективный трактат о гармонии, выдержанный в основном в пифагорейских традициях античной музыкальной науки. В начале его, обращаясь к «благороднейшей из дам», Никомах говорит, что пишет «на скорую руку», обещая впоследствии написать «большое сочинение», выстроенное «со всей полнотой необходимых для читателя умозаключений», с привлечением «наиболее прославленных и заслуживающих доверия свидетельств древних мужей». Неизвестно, было ли когда-либо написано «большое сочинение», либо уклончивая ссылка Никомаха — лишь приём в риторике эпистолярного жанра. К риторике, вероятно, относится и обещание изложить в будущем предмет гармоники «в точном соответствии с замыслом самого Учителя — не так, как понаслышке записали Эратосфен и Трасилл, а как передал его Тимей из Локр, которому и следовал Платон» (гл. 11, 6).

Сохранившийся текст не придерживается стандартов гармоники (нормативного объёма категорий гармонии и учебного порядка их изложения), установленных ещё Аристоксеном, с одной стороны, и не является последовательно пифагорейским (как, например, «Sectio canonis» Евклида), с другой. Принимая во внимание эклектичный метод и «эссеистский» стиль «Гармоники», западный исследователь (Флора Левина; см. в списке литературы) предполагает, что Никомах вообще не задумывал своё короткое сочинение как учебник гармонии, а скорее как свободное начальное изложение пифагорейских взглядов на мир. Пифагореизм автора очевиден хотя бы из того, какое значение в теории музыки он придаёт числу, устанавливая его в качестве божественного основания космоса и всего сущего в «земном» мире. При этом никакой нумерологии (в стиле «Теологуменов») в «Гармонике» не наблюдается. О том, что Никомах прямо опирался на пифагорейские книги, свидетельствует и приведенная им (уникальная) цитата из сочинения Филолая «О природе» (гл. 9), с характерной архаичной музыкальной терминологией.

В трактате 12 коротких глав. После введения (гл. 1) Никомах вводит понятия (гл. 2) слитного и дискретного движения голоса вполне в традициях Аристоксена. Далее (гл. 3) автор коротко излагает концепцию гармонии сфер, причём в противоположность традиционной привязке (например, см. в «Сне Сципиона» Цицерона) нижние (низко звучащие) струны лиры (они же ступени звукоряда; см. Полная система) он сравнивает с наиболее удалёнными от Земли звёздными телами; кроме того, он отклоняется от пифагорейской концепции в импликации звучания Земли (неподвижное тело звучать не может). В гл. 4 Никомах развивает идею связи числа и звука, распространяя её на музыкальные инструменты (струнные и духовые). Данное в этой главе общее (физическое) определение звука восходит к Аристотелю («О душе», 420a) и очень похоже на определение Адраста. В гл. 5 после (странного) утверждения о том, что Пифагор является изобретателем октахорда, вводятся главные числовые отношения, образующие остов октавы. Гл. 6 излагает (ставшую в Средние века и позже «общим местом» благодаря Боэцию) легенду об изобретении основных консонансов Пифагором:

Прогуливаясь по божественному наитию мимо кузнечной мастерской, Пифагор услышал, как железные молотки бьют по наковальне, издавая звуки вполне согласные друг с другом, за исключением одного [диссонантного] сочетания [звуков]. В этих звуках он распознал консонансы октавы, квинты и кварты… и т. д.

В гл. 7 описывается интервальный состав диатонической октавы, причём диатонический тетрахорд представлен в виде уникальной структуры, без каких-либо видовых инстанций (например, «оттенков» Аристоксена и его школы; см. Роды мелоса). В гл. 8 (со ссылками на Платона) излагается теория средних, применяемая по отношению к делению ими октавы. Согласно интерпретации Никомахом знаменитого фрагмента из «Тимея» (Tim. 35a-36d) Платон использовал геометрическое, гармоническое и арифметическое средние для вычисления только кварто-квинтового остова октавы (например, e-a-h-e¹-a¹-h¹-e²); в действительности в «космической гамме» Платона содержится полный расчёт диатонического звукоряда (в диапазоне четырёх октав с большой секстой), включая целые тоны и (не названную Платоном по имени) лимму. Аналогично платоновскому Никомах подтягивает (в гл. 9) ещё одно историческое «доказательство» деления октавы, теперь от Филолая. Гл. 10 возвращается к теме гл. 4; ныне «музыкальные» отношения чисел уточняются в связи с конструктивными особенностями конкретных музыкальных инструментов (сиринги, авлоса, лирообразных). Главы 11 и 12 описывают Полную двухоктавную систему (звукоряд) греков, сначала в диатоническом, а затем и в других родах мелоса; авторство Полной системы Никомах приписывает Тимею из Локр, попутно критикуя Трасилла и Эратосфена. При этом в описаниях хроматического и энармонического деления канона Никомах не предоставляет точного математического расчёта для характерных интервалов этих родов — несоставного триполутона (в позднейшей терминологии «полудитона», затем «малой терции») в хроматике и диесы в энармонике, ограничиваясь расплывчатыми (с точки зрения пифагорейца) «музыкальными» доказательствами. Данное в этой главе (запоздалое) определение музыкального звука («попадание голоса на одну высоту») почти дословно следует Аристоксену.

Литература

Сочинения

• Греческий текст (издание 1866 года)
• Nicomachus. The Enchiridion // Greek Musical Writings. Volume II: Harmonic and Acoustic Theory, edited by Andrew Barker. Cambridge, 1989, pp. 245—269 (англ. комментированный перевод).
• Levin F. The manual of harmonics of Nicomachus the Pythagorean. Translation and commentary by Flora R. Levin. Grand Rapids (Michigan), 1994 (англ. комментированный перевод и исследование).
• Никомах Геразский. Введение в арифметику. Пер., вступит. статья и комм. А. И. Щетникова Архивная копия от 6 мая 2008 на Wayback Machine. Новосибирск: АНТ, 2006.
• Теологумены арифметики. Пер. В. В. Бибихина и А. И. Щетникова. Вступит. статья и комм. А. И. Щетникова Архивная копия от 6 мая 2008 на Wayback Machine. Новосибирск: АНТ, 2007.
• Никомаха из Герасы, пифагорейца, руководство по гармонике, продиктованное на скорую руку сообразно старине. Сибирский музыкальный альманах 2004. Пер. и комм. Т. Г. Мякина и Л. В. Александровой. Новосибирск, НГК им. М. И. Глинки, 2007, с. 119—150.
• Никомах Геразский. Наставление по гармонике. Пер. и комм. А. И. Щетникова. ΣΧΟΛΗ, 2, 2008, с. 75-89.
• Никомах Герасский. Руководство по гармонике // Музыкальные писатели античной Греции / Издание подготовил В. Г. Цыпин. М., 2019, с.373-414 (перевод с комментариями и вводной статьёй)
• Отрывки из Никомаха // Музыкальные писатели античной Греции / Издание подготовил В. Г. Цыпин. М., 2019, с.415-425 (перевод с комментариями)

Исследования

• Щетников А. И. Никомах из Герасы. // Античная философия: энциклопедический словарь. Под ред. М. А. Солоповой. М.: Прогресс-Традиция, 2008. C. 512—515.
• Bower C. M. Boethius and Nicomachus: an essay concerning the sources of the «De institutione musica». Vivarium, 16, 1978, 1-45.
• Dillon J. The Middle Platonists. 2nd ed. L.: Duckworth, 1996.
• Heath T. A History of Greek Mathematics. Clarendon Press, Oxford, 1921. ISBN 0-486-24073-8. Vol. 1. P. 98 и сл.
• Levin F. R. The Harmonics of Nicomachus and the Pythagorean tradition. University Park: American Philological Association, 1975.
• O’Meara D. J. Pythagoras Revived: Mathematics and Philosophy in Late Antiquity. Oxf., 1989.
• Mansfield J. Prolegomena Mathematica: From Apollonius of Perga to Late Neoplatonism. Leiden-Boston: Brill, 1998.
• Robbins F. E. The Tradition of Greek Arithmology. Classical Philology, 16, 1921, 97-123.
• Vandoulakis, Ioannis "A Genetic Interpretation of Neo-Pythagorean Arithmetic, " Oriens — Occidens Cahiers du Centre d’histoire des Sciences et des philosophies arabes et Médiévales, 7 (2009), 113—154.