Наблюдатель (динамические системы)

Наблюдатель состояния — модель, подключенная параллельно к объекту управления и получающая непрерывную информацию об изменениях регулирующего воздействия и регулирующей величины.

При использовании наблюдателя в систему не добавляются новые информационные каналы, только в регуляторе вводится корректирующие устройство, в результате чего образуется новый регулятор, работающий в обычной одноконтурной системе.

Классификация наблюдателей

• Измеряющие:
  • Непрямые измерители положения;
  • Измерители ошибки ориентирования (адаптивные);
• На основе моделей процессов:
  • Неадаптивные
  • Адаптивные
• На основе фильтра Калмана.

Непрямые измерители положения

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Для измерения положения ротора они используют магнитную неоднородность свойств двигателя. Например, несимметричность обмоток или неоднородность магнитной проницаемости.

Измерители ошибки ориентирования

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Они определяют положение вращающейся системы координат, используя внутренние сигналы системы управления, зависящие от ошибки ее ориентирования. Их можно назвать адаптивными, так как они сводят ошибку ориентирования к нулю. По положению вращающейся системы координат оценивается скорость ротора.

Наблюдатели на основе фильтра Калмана

Этот наблюдатель представляет собой некоторый цифровой фильтр, алгоритм которого строится с учетом законов математической статистики. Он позволяет восстанавливать неизвестный параметр, минимизирует при этом влияние помех измерения известных величин.

Наблюдатель на основе фильтра Калмана характеризуется сложностью вычислительного алгоритма и теоретически должен позволять получать высокую точность наблюдения. На практике параметры системы точно не известны и, более того, еще могут и изменяются в процессе работы. Это ограничивает точность и область использования, казалось бы, идеального наблюдателя.

Система

${\dot {q}}(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t)$ (1)

$z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t)$ (2)

является наблюдателем для системы

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ (3),

$y(t)=Cx(t)$ (4),

если для каждого начального состояния $x(t_{0})$ системы (3)-(4) существует начальное состояние $q_{0}$ для системы (1)-(2), такое, что равенство $q(t_{0})=q_{0}$ приводит к $z(t)=x(t),t\geq t_{0}$ при всех управлениях $u(t),t\geq t_{0}$.

Здесь $A,B,C,F,G,H,K,L,M$ — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность $q(t)$ равна размерности $x(t)$ и выполнение условия $q(t_{0})=x(t_{0})$ дает $q(t)=x(t),t\geq t_{0}$ при всех управлениях $u(t),t\geq t_{0}$, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. $n$-мерный вектор $x(t)$, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени $t$. $r$-мерный вектор $u(t)$ описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

$l$-мерный вектор $y(t)$ представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно $l<n$. $y(t)$ называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда $F(t)=A(t)-K(t)C(t)$, $G(t)=K(t)$, $H(t)=B(t)$, где $K(t)$ является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

${\dot {q}}(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)]$ (5).

Матрица $K(t)$ называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

${\dot {q}}(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)$,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

$A(t)-K(t)C(t)$.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления $K$, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы $A-KC$, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

$e(t)=x(t)-q(t)$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\dot {e}}(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t)$.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

$e(t)\to 0$ при $t\to \infty$

для всех $e(t_{0})$ тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления $K$, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной $y(t)$.

См. также

• Система отсчёта
• Динамическая система