Мультипликативная функция

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция $f(m)$, такая, что для любых взаимно простых чисел $m_{1}$ и $m_{2}$ выполнено:

$f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})$

и

$f(1)=1$.

При выполнении первого условия, требование $f(1)=1$ равносильно тому, что функция $f(m)$ не равна тождественно нулю.

Функции $f(m)$, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных $m_{1},m_{2}$, называются вполне мультипликативными. Функция $f$ вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных $x,y$ выполняется соотношение $f(xy)=f(x)f(y)$.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если:

$f(p^{\alpha })=f(p)$

для всех простых $p$ и всех натуральных $\alpha$.

Примеры:

• функция $\tau (m)$ ― число натуральных делителей натурального $m$;
• функция $\sigma (m)$ ― сумма натуральных делителей натурального $m$;
• функция Эйлера $\varphi (m)$;
• функция Мёбиуса $\mu (m)$.
• функция ${\frac {\varphi (m)}{m}}$ является сильно мультипликативной.
• степенная функция $f(m)=m^{\alpha }$ является вполне мультипликативной.

Построение

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции $f(n)$ на простых числах и их степенях, а также определить $f(1)=1;$ все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если $f(m)$ — мультипликативная функция, то функция

$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$

также будет мультипликативной. Обратно, если функция $g(m)$, определённая этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция $f(m)$ также мультипликативна.

Более того, если $f(m)$ и $g(m)$ — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свёртка Дирихле:

$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)$

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.