Модель Ходжкина — Хаксли

Модель Ходжкина — Хаксли — математическая модель, описывающая генерацию и распространение потенциалов действия в нейронах. Подобные модели были созданы впоследствии и для других электрически возбуждаемых клеток — например, для сердечных миоцитов; все модели такого рода описывают автоволновые процессы в активных средах. Точечная модель Ходжкина — Хаксли представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая, в частности, пригодна и для описания характеристик электрического сигнала.

Модель была разработана Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли в 1952 году для описания электрических механизмов, которые обусловливают генерацию и передачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара. За это авторы модели получили Нобелевскую премию в области физиологии и медицины за 1963 год.

Основные компоненты

Основные компоненты модели Ходжкина — Хаксли. Модель Ходжкина — Хаксли представляет собой биофизические характеристики клеточных мембран.

Компоненты электрической схемы, что соответствует модели Ходжкина — Хаксли, изображены на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему липидному слою клеточной мембраны соответствует электроёмкость ($C_{m}$). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают за нелинейную электрическую проводимость ($G_{n}$, где $n$ — отдельный вид ионных каналов) — это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы мембранных пор отвечают за пассивную проводимость ($G_{L}$, где индекс $L$ означает англ. leak — «течь, утечка»). Электрохимический градиент побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью источников напряжения с соответствующей электродвижущей силой ($E_{n}$ и $E_{L}$), величина которой определяется реверсивным потенциалом для соответствующего вида иона. Ионные транспортёры соответствуют источникам тока ($I_{p}$).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны (${\dot {V}}_{m}$) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

${\dot {V}}_{m}=-{\frac {1}{C_{m}}}\left(\sum \limits _{i}I_{i}\right),$

где $I_{i}$ означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

Характеристики ионного тока

Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:

$I_{i}(V_{m},\;t)=(V_{m}-E_{i})g_{i},$

где $E_{i}$ — равновесный потенциал $i$-го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость $g_{i}$ является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) — $g_{n}(t,\;V)$ на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной ($g_{L}$ на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, который переносит соответствующий транспортёр. Ниже приведено более подробное описание перечисленных величин.

Потенциал-зависимые ионные каналы

В терминах модели Ходжкина — Хаксли $g_{n}(t,\;V)$, проводимость потенциал-зависимых каналов, описывается следующим образом:

$g_{n}(V_{m},\;t)={\bar {g}}_{n}\varphi ^{\alpha }\chi ^{\beta };$

${\dot {\varphi }}(V_{m},\;t)={\frac {1}{\tau _{\varphi }}}(\varphi _{\infty }-\varphi );$

${\dot {\chi }}(V_{m},\;t)={\frac {1}{\tau _{\chi }}}(\chi _{\infty }-\chi ),$

где $\varphi$ и $\chi$ являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимально возможной проводимости через данный вид каналов в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. ${\bar {g}}_{n}$ является максимальным возможным значением проводимости. $\alpha$ и $\beta$ — константы, $\tau _{\varphi }$ и $\tau _{\chi }$ — временны́е константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. $\varphi _{\infty }$ и $\chi _{\infty }$ является стабилизированными значениями $\varphi$ и $\chi$ при величине времени, стремящейся к бесконечности, и обычно рассчитываются из уравнения Больцмана как функции $V_{m}$.

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала — модификация уравнений Ходжкина — Хаксли, сделанная Марквардтом . Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (англ. voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейным дифференциальным уравнениям следующего вида:

$\varphi (t)=\varphi _{0}-\left[(\varphi _{0}-\varphi _{\infty })(1-e^{-t/\tau _{\varphi }})\right];$

$\chi (t)=\chi _{0}-\left[(\chi _{0}-\chi _{\infty })(1-e^{-t/\tau _{\chi }})\right].$

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала $V_{m}$, величина электрического тока описывается следующим уравнением:

$I_{n}(t)={\bar {g}}_{n}\varphi ^{\alpha }\chi ^{\beta }(V_{m}-E_{n}).$

Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала используется алгоритм Левенберга — Марквардта.

Пассивные каналы

Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости $g_{i}$ ($g_{i}=\mathrm {const}$).

Ионные транспортёры

Мембранный электрический потенциал генерируется с помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях организма, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортёров, которые поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са²⁺ внутрь клетки в обмен на три иона Na⁺, транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспортирует один ион Na⁺ наружу в обмен на один ион К⁺ внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl⁻).

Модификации и альтернативные модели

Модель Ходжкина — Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии XX века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:

• Основываясь на экспериментальных данных, в неё были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортёров.
• Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов и дендритов).

Также на общих принципах модели Ходжкина — Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.

См. также

• Синхронизация (нейробиология)
• Автоколебание
• Автоволны

• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение

Ссылки

• Интерактивный Java-апплет модели Ходжкина — Хаксли. Параметры модели и параметры возбуждения могут меняться; возможно построение диаграмм изменения значений переменных.
• Интерактивный Java-апплет уравнений Ходжкина — Хаксли для численного решения дифференциальных уравнений Ходжкина — Хаксли.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть первая: Сurrents carried BY Sodium AND Potassium ions Through The Membrane Of The Giant AXON Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть вторая: The Components Of Membrane conductance In The Giant Axon Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть третья: The Dual Effect Of Membrane Potential On Sodium conductance In The Giant Axon Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть четвёртая: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.
• Neural Impulses: The Action Potential In Action. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.