Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта (расширенная модель Васичека) - безарбитражная стохастическая однофакторная модель динамики краткосрочной (мгновенной) ставки, представляющая собой расширение базовой модели Васичека за счёт переменной величины среднего долгосрочного уровня ставки с учётом начальной рыночной кривой доходности. Также модель допускает обобщение, когда параметр волатильности и темпа возврата к среднему являются функциями времени (иногда именно это обобщение называют расширенной моделью Васичека).

Динамика форвардных ставок, следующая из Модели Халла-Уайта, соответствует требованиям HJM-подхода к моделированию динамики ставок в целях обеспечения безарбитражности, в том числе в соответствии с начальной кривой доходности.

Математическая модель

Модель представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

dr_{t}=a\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma \,dW_{t}

где для соблюдения требования безарбитражности динамики выполнено равенство

\theta _{t}=f(0,t)+{\partial _{t}f(0,t) \over a}+{{\sigma }^{2}B_{2a}(0,t) \over {a}}

,

где $f(0,t)$ - функция мгновенной форвардной ставки по кривой доходности в начальный момент времени

B_{a}(t_{1},t_{2})=B_{a}(t_{2}-t_{1})={1-e^{-a(t_{2}-t_{1})} \over {a}}

Решение уравнения (интегральное представление модели) имеет вид:

r_{t}=e^{-at}r_{0}+\int _{0}^{t}e^{a(s-t)}\theta _{s}ds+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{au}\,dW_{u},

Таким образом, краткосрочная ставка в модели имеет следующее распределение:

r_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-at}r(0)+\int _{0}^{t}e^{a(s-t)}\theta _{s}ds,\sigma ^{2}B_{2a}(0,t)\right).

Модель Халла-Уайта для спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности $\sigma (t,T)=\sigma e^{-a(T-t)}$ . При $a\rightarrow 0$ модель Халла-Уайта стремится к модели Хо-Ли:

dr_{t}=\left(\partial _{t}f(0,t)+\sigma ^{2}t\right)\,dt+\sigma \,dW_{t}

Обобщённая модель Халла-Уайта

Обобщённая модель Халла-Уайта допускает изменение во времени параметров $a$ и $\sigma$ представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

dr_{t}=a_{t}\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}

где $\theta _{t}=f(0,t)+{{\partial _{t}f(0,t)} \over {a_{t}}}+{1 \over {a_{t}}}\int _{0}^{t}{\sigma }_{u}^{2}e^{-2\int _{0}^{u}a_{s}ds}du$

Эта модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности $\sigma (t,T)=\sigma _{t}e^{-a_{t}(T-t)}$

Специальное представление модели

В некоторых случаях удобно представить модель через искусственную переменную состояния $Z_{t}$ , удовлетворяющую следующему стохастическому дифференциальному уравнению

$dZ_{t}=-a_{t}Z_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t}$

а спот-ставка выражается через эту переменную следующим образом

$r_{t}=f(0,t)+Z_{t}+H(t,t)$ , где функция $H(t,T)=\int _{0}^{t}\sigma (u,T)\sigma _{P}(u,T)du$ , где $\sigma _{P}(u,T)=\int _{u}^{T}\sigma (u,s)du$

при таком определении форвардные ставки на любой срок выражаются следующим образом:

$f(t,T)=f(0,t)+H(t,T)+Z_{t}e^{-\int _{t}^{T}a_{s}ds}$

Дисконтные облигации и кривая доходности

Если в вышеприведённой форме модель задана в риск-нейтральной мере, то из соображений безарбитражности следует, что стоимость дисконтной облигации (соответственно дисконтная кривая) имеет вид:

P(t,T)=e^{A(t,T)-B_{a}(t,T)r_{t}},

где

B_{a}(t,T)={\frac {1-e^{-a(T-t)}}{a}}

A(t,T)=\ln {\frac {P(0,T)}{P(0,t)}}-B_{a}(t,T){\frac {\partial \ln P(0,t)}{\partial t}}-0.5\sigma ^{2}B_{a}^{2}(t,T)B_{2a}(0,t).

где $P(0,t),P(0,T)$ - значение дисконтной кривой в начальный момент времени (модель калибруется с учётом фактической кривой в этот момент времени) для сроков $t,T$

Эти формулы можно записать и в терминах форвардных ставок следующим образом:

f(t,T)=f(0,t,T)+{\frac {B_{a}(t,T)}{T-t}}(r_{t}-f(0,t))+0.5\sigma ^{2}{\frac {B_{a}^{2}(t,T)B_{2a}(0,t)}{T-t}}.

Динамика стоимости дисконтной облигации в риск-нейтральной мере в рамках модели Халла-Уайта описывается следующим уравнением:

dP(t,T)/P(t,T)=r_{t}dt+\sigma _{p}(t,T)dW_{t}^{\mathbb {Q} },\quad \sigma _{p}(t,T)=-\int _{t}^{T}\sigma (t,s)ds=\sigma B_{a}(t,T)

Можно показать, что динамика цены форвардной облигации $P(t,T,S)={P(t,S) \over P(t,T)}$ в $T$ -форвардной мере имеет вид:

dP(t,T,S)/P(t,T,S)=(\sigma _{p}(t,T)-\sigma _{p}(t,S))dW_{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}

то есть это процесс без дрифта (как минимум локальный мартингал) с процессом волатильности, равным

\sigma _{p}(t,T)-\sigma _{p}(t,S)=\sigma {e^{-a(T-t)}-e^{-a(S-t)} \over a}=\sigma {e^{-aT}-e^{-aS} \over a}e^{at}

Оценка процентных опционов

Опцион на бескупонную облигацию

Колл- (пут-) опцион на дисконтную облигацию с датой погашения $S$ дает право его покупки (продажи) в момент экспирации $T<S$ по зафиксированной в момент заключения договора цене ( $K_{p}$ - страйк опциона). Рыночная цена облигации в момент экспирации равна $P(T,S)$ . Тогда стоимость такого опциона в момент $t<T$ будет равна

$V_{t}=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[(z[P(T,S)-K_{p}])^{+}]$

Учитывая, что $P(T,S)=P(T,T,S)$ , то из приведенного выше уравнения динамики цены форвардной облигации $P(t,T,S)$ в $T$ форвардной мере следует, что такой опцион можно оценить по логнормальной формуле оценки стоимости опционов (формула типа Блэка):

V_{t}=zP(t,T)[P(t,T,S)N(zd)-K_{p}N(z(d-v))]=z[P(t,S)N(zd)-P(t,T)K_{p}N(z(d-v))]

d={1 \over v}\ln {P(t,T,S) \over K_{p}}+0.5v={1 \over v}\ln {P(t,S) \over K_{p}P(t,T)}+0.5v

где $v^{2}=\int _{t}^{T}(\sigma _{p}(u,T)-\sigma _{p}(u,S))^{2}du=\sigma ^{2}B_{a}^{2}(T,S)B_{2a}(t,T)$

Оценка классического (форвард-лукинг) кэплета/флорлета

Форвард-лукинг кэплет/флорлет (номер i в рамках кэпа/флора в целом) предполагает фиксацию ставки на период опциона $[T_{i-1},T_{i}]$ в начале этого периода, причём срочность ставки совпадает со срочностью $\tau _{i}=\tau (T_{i-1},T_{i})$ кэплета/флорлета. Формула оценки стоимости является логнормальной (типа Блэка), но с заменой "страйка" и "форвардной ставки":

\forall t<T_{i-1}\qquad V_{i}(t)=P(t,T_{i})z[(1+F_{i}(t)\tau _{i})N(zd_{i})-(1+K\tau _{i})N(z(d_{i}-v_{i}))],

d_{i}={\frac {\ln {\frac {1+F_{i}(t)\tau _{i}}{1+K\tau _{i}}}+0.5v_{i}^{2}}{v_{i}}},\qquad v_{i}=\sigma B_{a}(\tau _{i}){\sqrt {B_{2a}(T_{i-1}-t)}},\qquad B_{a}(x)={\frac {1-e^{-ax}}{a}}

Здесь и далее z равен 1 для кэплета и -1 для флорлета. При стремлении a к нулю (модель Хо-Ли) функция $B_{a}(x)$ стремится к $x$ , поэтому а $v_{i}$ стремится к : $v_{i}=\sigma \tau _{i}{\sqrt {T_{i-1}-t}}$ как в классических формулах стоимости опционов (Блэка и Башелье).

Вышеуказанная формула для кэплета (флорлета) эквивалентна формуле для опциона-пут (соответственно - колл) на бескупонную облигацию с номиналом $1+K\tau _{i}$ и страйком $K_{p}={1 \over 1+K\tau _{i}}$ . Можно показать исходя из того, что $1+F\tau _{i}=P(t,T_{i-1})/P(t,T_{i})$ (в итоге получим формулу для опциона на дисконтную облигации с -z вместо z, что означает, что кэплету соответствует опцион-пут, а флорлету - опцион колл.

Это соответствие между кэплетами/флорлетами и опционами на дисконтные облигации выполняется независимо от модели динамики процентной ставки. А именно, путем несложных арифметических преобразований и применяя процедуру замены меры c $T_{i}$ -форвардной на $T_{i-1}$ -форвардную меру можно показать, что выполнено равенство:

V_{t}=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{i}}}[(z[L(T_{i-1}\,T_{i})\tau _{i}-K\tau _{i}])^{+}]=(1+K\tau _{i})P(t,T_{i-1})\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{i-1}}}[(-z[P(T_{i-1},T_{i})-K_{p}])^{+}]

Оценка бэкворд-лукинг кэплета/флорлета

Бэкворд-лукинг кэплет/флорлет предполагает фиксацию ставки на период опциона $[T_{i-1},T_{i}]$ в конце этого периода, путём начисления процентов по овернайт-ставке. Для упрощения обычно такое начисление заменяется непрерывным начислением. При этом теоретически возможны два случая - сложное начисление и арифметическое (азиатский опцион).

Бэкворд-лукинг опцион со сложным начислением овернайт-ставки

Формула оценки такого кэплета/флорлета аналогична форвард-лукинг случаю (типа Блэка, логнормальная формула), за исключением значения $v_{i}$ , которое в данном случае определяется следующим образом:

v_{i}={\frac {\sigma }{a}}{\sqrt {\tau _{i}-B_{a}(\tau _{i})-{\frac {a}{2}}e^{-2a(T_{i-1}-t)}B_{a}^{2}(\tau _{i})}}

Такая запись относительно простая, однако не совсем наглядна разница со случаем форвард-лукинг, поэтому эту формулу также можно записать в следующем виде:

v_{i}=\sigma B_{a}(\tau _{i}){\sqrt {B_{2a}(T_{i-1}-t)+f_{a}(\tau _{i})}},\qquad f_{a}(\tau _{i})={\frac {1}{2a}}\left[{\frac {\tau _{i}-B_{a}(\tau _{i})}{B_{a}(\tau _{i})-B_{2a}(\tau _{i})}}-1\right]

Можно показать, что $f_{a}(\tau _{i})={\frac {\tau _{i}}{3}}g(a\tau _{i})$ , где $g(x)=3{\frac {2x+1-(2-e^{-x})^{2}}{2x(1-e^{-x})^{2}}}\approx 1+{\frac {x}{4}}+{x^{2} \over 75}$

В такой записи видно, что здесь "дисперсия" больше, чем в форвард-лукинг случае. Функция $g(x)$ стремится к 1 при стремлении $x$ к 0. Приведенное выше приближенное выражение этой функции является достаточно точным при $x<<1$ (на практике в основном $a\tau _{i}<0.5$ и часто $a\tau _{i}<0.25$ ), более того, часто достаточно лишь линейной части аппроксимации. При стремлении $a$ к нулю (модель Хо-Ли) $g(a\tau _{i})$ стремится к 1, и получим следующую формулу

v_{i}=\sigma \tau _{i}{\sqrt {(T_{i-1}-t)+{\frac {\tau _{i}}{3}}}}

Арифметический (азиатский) опцион

В случае арифметического (азиатского) опциона (то есть бэкворд-лукинг опцион с арифметическим накоплением по овернайт ставке) используется та же величина $v_{i}$ , что и в предыдущем случае, однако формула оценки опциона иная (типа Башелье, "нормальная" формула):

\forall t<T_{i-1}\qquad V_{i}(t)=P(t,T_{i})[d_{i}N(d_{i})+\phi (d_{i}))]v_{i}

d_{i}=z{\frac {[\ln(1+F_{i}(t)\tau _{i})-0.5v_{i}^{2}]-K\tau _{i}}{v_{i}}},

Здесь $\ln(1+F_{i}(t)\tau _{i})$ - это примерное значение арифметического накопления форвардных ставок (если овернайт ставки заменить непрерывными форвардными ставками, а суммирование - интегралом). А величина $-0.5v_{i}^{2}$ - это так называемая корректировка на выпуклость (convexity adjustment), связанная с тем, что математическое ожидание арифметического накопления $T_{i}-$ форвардной мере не в точности равно накопленным форвардным ставкам (разница в рамках модели Халла-Уайта определяется вышеуказанной величиной).