Модель Рамсея — Касса — Купманса

Модель Рамсея — Касса — Купманса (модель Рамсея, неоклассическая модель экономического роста, англ. Ramsey—Cass—Koopmans model) — неоклассическая модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста. Вместе с тем, модель не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана одновременно и независимо друг от друга Тьяллингом Купмансом и Дэвидом Кассом с использованием идей Фрэнка Рамсея в 1963 году.

Фрэнк Пламптон Рамсей

Тьяллинг Чарльз Купманс

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры: «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, исследователи обратились к работе Фрэнка Рамсея «Математическая теория сбережений», опубликованной в The Economic Journal ещё в декабре 1928 года. В ней была выведена межвременная функция полезности потребителя и найдено условие оптимального выбора потребителя. Используя идеи Фрэнка Рамсея, будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Тьяллинг Купманс в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», опубликованной как «работа для обсуждения» в Йельском университете 6 декабря 1963 года, и изданной в более подробной версии в сборнике The Econometric Approach to Development Planning в 1965 году, и Дэвид Касс в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», изданной в июле 1965 года в журнале The Review of Economic Studies представили модель Рамсея — Касса — Купманса (также известную как модель Рамсея, неоклассическая модель экономического роста), главной особенностью которой стало определение нормы сбережений в ходе решения задач оптимизации потребителями и фирмами, взаимодействующими в условиях совершенной конкуренции.

Работы Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса фактически излагают одинаковую модель (за исключением условия трансверсальности, введенного Кассом). Хотя работа Касса опубликована позже и в ней есть ссылка на работу Купманса, при этом Купманс, в свою очередь, в изданной полной версии работы, в которой также появляется условие трансверсальности, ссылается на диссертацию Касса. Оба исследователя предполагали, что пришли к этой модели «одновременно и независимо друг от друга». Подробно история с названием данной модели изложена в работе Стивена Спира и Уоррена Янга «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: модель Рамсея — Малинво — Купманса». В ней авторы отмечают вклад Эдмона Малинво, который сформулировал условие трансверсальности раньше Касса, однако не применил его к рассматриваемой модели.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт $Y$, используемый, как для потребления $C$, так и для инвестиций $I$. Темпы технологического прогресса $g$, роста населения $n$ и норма выбытия капитала $\delta$ — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время $t$ изменяется непрерывно.

Доходы индивида состоят из заработной платы $w_{t}$ и поступлений от активов $ra_{t}$. Активы индивида $a_{t}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка $r_{t}$ по доходам с активов и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:

$\lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0$,

где $a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида $a$ совпадает с запасом капитала на одного работающего $k$.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт и импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: $S=I$, $Y=C+I$.

Производственная функция $Y(K,L,E)$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): $Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=e^{gt},g=const$.

2) в производственной функции используются труд $L$ и капитал $K$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: $Y(aK,aLE)=aY(K,LE)$.

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0$.

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: $\lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0$.

5) для производства необходим каждый фактор: $Y(K,0)=Y(0,LE)=0$.

Население $L_{t}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом $n$: $L_{t}=e^{nt},n=const$.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя имеет вид:

$U=\int _{0}^{\infty }u(c_{t})e^{-(\rho -n)t}dt$,

где $c_{t}={\frac {C_{t}}{L_{t}}}$ — потребление на душу населения в момент времени $t$; $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя,$\rho >0,\rho =const$.

Функция полезности $u(c_{t})$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям $u'(c)>0,u''(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0$.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда $y={\frac {Y}{L}}$, выпуск на единицу эффективного труда ${\hat {y}}={\frac {Y}{LE}}$, запас капитала на единицу эффективного труда ${\hat {k}}={\frac {K}{LE}}$, потребление на единицу эффективного труда ${\hat {c}}={\frac {C}{LE}}$.

Задача потребителя

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом $n$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшается на $na_{t}$. Таким образом, производная активов по времени ${\dot {a}}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид:

${\dot {a}}=w_{t}+r_{t}a_{t}-c-na_{t}$.

Задача потребителя заключается в максимизации полезности $U$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Нахождение максимума функции Гамильтона

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

$H=u(c)e^{-(\rho -n)t}+\lambda _{t}(w_{t}+r_{t}a_{t}-c-na_{t})$

при условии:

$\lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0$.

Условие максимума первого порядка: ${\frac {\partial H}{\partial c}}=u'(c)e^{-(\rho -n)t}-\lambda _{t}=0$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): ${\frac {\partial H}{\partial a}}=(r_{t}-n)\lambda _{t}=-{\dot {\lambda }}$, где ${\dot {\lambda }}$ — производная $\lambda$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): $\lim _{t\to \infty }\lambda _{t}a_{t}=0$, где $\lambda _{t}$ представляют собой теневые цены активов (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци.

Искомое решение имеет вид:

$r_{t}-n=\rho -n-{\biggl (}{\frac {u''(c)}{u'(c)}}c{\biggr )}{\frac {\dot {c}}{c}}$,

где ${\dot {c}}$ — производная потребления по времени, ${\frac {u''(c)}{u'(c)}}c$ — эластичность предельной полезности по потреблению.

Поскольку для дальнейшего анализа необходимо, чтобы эта величина была постоянной, вводится дополнительная предпосылка о виде функции полезности: в качестве неё используют функцию с постоянной эластичностью замещения:

$u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}$.

В таком случае, ${\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-{\theta }$, а значит:

${\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )$,

где ${\dot {c}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

Найденное решение называется правилом Кейнса — Рамсея. Оно было получено Фрэнком Рамсеем, а содержательную интерпретацию ему дал Джон Кейнс.

Задача фирмы

Производственную функцию $Y=f(K,LE)=f({\hat {k}})LE$ можно записать через удельные показатели: ${\hat {y}}=f({\hat {k}})$. Задача фирмы состоит в максимизации прибыли $\pi$:

$\pi =f(K_{t},L_{t}E_{t})-(r+\delta )K_{t}-wL_{t}=L_{t}E_{t}{\biggl (}f({\hat {k_{t}}})-(r+\delta ){\hat {k_{t}}}-{\frac {w}{E_{t}}}{\biggr )}\rightarrow \max$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам:

${\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=f'({\hat {k_{t}}})=r_{t}+\delta$,

${\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=(f({\hat {k_{t}}})-{\hat {k_{t}}}f'({\hat {k_{t}}}))e^{gt}=w_{t}$.

Общее экономическое равновесие

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость

Модель Рамсея — Касса — Купманса, динамика нормы сбережений

Учитывая, что $a=k$, подставив полученные из решения задачи фирмы значения $r$ и $w$ в уравнение динамики активов, получим:

${\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}$.

Поскольку ${\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {\dot {c}}{c}}-g$, решение задачи потребителя можно записать в следующем виде:

${\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho -g\theta )={\frac {1}{\theta }}(f'({\hat {k_{t}}})-\delta -\rho -\theta g{\biggr )}$.

В стационарном состоянии ${\dot {\hat {c}}}={\dot {\hat {k}}}={\dot {\hat {y}}}=0$. Откуда, получаем, что $f'({\hat {k_{t}}})=\delta +\rho +\theta g$. В итоге, устойчивое состояние описывается системой уравнений:

${\begin{cases}{\hat {c}}^{*}=f({\hat {k}}^{*})-(\delta +n+g){\hat {k}}^{*},\\f'({\hat {k}}^{*})=\delta +\rho +\theta g,\end{cases}}$

где ${\hat {c}}^{*}$ — потребление, а ${\hat {k}}^{*}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

По условию трансверсальности:

$\lim _{t\to \infty }{\biggl (}{\hat {k}}_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}({f'({\hat {k}}_{\nu })-\delta -g-n})d\nu }{\biggr )}=0$,

откуда следует что $f'({\hat {k}})>\delta +n+g$. С учетом уравнения для ${\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}$, это условие означает, что для существование устойчивого состояния необходимо, чтобы $\rho +\theta g>g+n$. Также это означает, что в модели Рамсея — Касса — Купманса накопление капитала ниже, чем уровень максимизирующий потребление (модифицированное Золотое правило: ${\frac {\partial f({\hat {k}}^{**})}{\partial k}}=\delta +n+g$, где ${\hat {k}}^{**}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда, соответствующая Золотому правилу), а значит, невозможна динамическая неэффективность в виде избыточного накопления капитала.

Достижение равновесия в модели можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости. Линии ${\dot {\hat {c}}}=0$ и ${\dot {\hat {k}}}=0$ делят диаграмму на четыре квадранта. Слева от линии ${\dot {\hat {c}}}=0$ траектория капиталовооружённости идет вверх, а справа от линии ${\dot {\hat {c}}}=0$ — вниз. Выше линии ${\dot {\hat {k}}}=0$ траектория капиталовооружённости идет влево, а ниже линии ${\dot {\hat {k}}}=0$ — вправо. Таким образом, в квадранте I траектория идет влево и вверх, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — вправо и вниз, в квадранте IV — вправо и вверх. В итоге, в модели существует только одна траектория, ведущая к равновесию — зеленая линия на иллюстрации. На этой линии расположено множество точек ${\hat {c}}_{0}$ и ${\hat {k}}_{0}$, из которых система приходит в устойчивое состояние. Варианты траектории из других точек показаны красным, в этом случае в конечном итоге становится равной нулю либо капиталовооружённость (${\hat {k}}=0$), либо потребление (${\hat {c}}=0$). Поскольку оптимальная траектория капиталовооружённости в модели имеет вид седла, её также называют «седловой путь».

Динамика нормы сбережений по мере приближения к равновесному состоянию также показана на иллюстрации.

В рассматриваемой модели равновесия для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы.

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости $k$, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации посредством разложения в ряд Тейлора дифференциальных уравнений для ${\dot {\hat {c}}}$ и ${\dot {\hat {k}}}$:

${\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k_{t}}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {c_{t}}}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {c}}_{t}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}$

Из условий устойчивости следует, что угловой коэффициент у второго слагаемого ($c_{t}-{\hat {c}}^{*}$) во втором уравнении равен -1, а в первом — 0. Используя уравнения устойчивого состояния, можно записать линейные аппроксимации в следующем виде:

${\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {f''({\hat {k}}^{*}){\hat {c}}}{\theta }}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx (\rho +\theta g-g)({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})-({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}$

Решение этой системы уравнений имеет вид:

${\begin{cases}{\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*}=({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})e^{\mu t},\\{\hat {c}}_{t}-{\hat {c}}^{*}=({\hat {c}}_{0}-{\hat {c}}^{*})e^{\mu t},\end{cases}}$

где $\mu$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Расчеты скорости конвергенции по модели Рамсея — Касса — Купманса с использованием параметров, близких к параметрам экономики США, предсказывают высокую скорость конвергенции, не наблюдаемую на реальных данных.

Фискальная политика в модели

Модель Рамсея — Касса — Купманса, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. Предполагается, что величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. В этом случае уравнение для ${\dot {\hat {k}}}$ примет следующий вид:

${\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-{\hat {G}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}$,

где ${\hat {G}}$ — величина государственных расходов на единицу труда с постоянной эффективностью.

В результате фискальной политики кривая ${\dot {\hat {k}}}=0$ сдвигается вниз на величину ${\hat {G}}$ и равновесие в модели устанавливается на прежнем уровне капиталовооружённости, но потребление снизится на величину ${\hat {G}}$. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют потребление.

Влияние фискальной политики на равновесие проиллюстрировано при помощи фазовой плоскости.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Наиболее важный вклад модели Рамсея — Касса — Купманса состоит в том, что она раскрыла механизм формирования нормы сбережений через решения потребителей, а также стала основой для дальнейшего анализа того, как решения индивидов формируют накопления физического и человеческого капитала, и как следствие, научно-технический прогресс. Это стало большим шагом вперёд по сравнению с моделью Солоу, и во многом по этой причине модель стала отправной точкой для многих исследователей, которые использовали её концептуальный и математический аппарат для построения своих моделей. Неоклассическая модель экономического роста рассматривается во всех современных учебниках макроэкономики и теории экономического роста.

Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста, где в качестве экономического агента выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство): в АК-модели, модели обучения в процессе деятельности, модели Удзавы — Лукаса, модели растущего разнообразия товаров.

Включение в модель внешних эффектов от уровня физического и человеческого капитала (для чего в некоторых случаях пришлось отказаться от 2, 3 и 4 предпосылки неоклассической производственной функции) привело к развитию АК-моделей.

Мигель Сидрауски добавил в модель денежную массу, чтобы проанализировать влияние денежной эмиссии и инфляции на реальные показатели в экономике. В итоге в расширенной модели равновесие получилось таким же, как и в модели без денежной массы, что означает отсутствие влияния предложения денег на реальные показатели. Полученное свойство было названо нейтральностью денег.

В качестве недостатка модели некоторые исследователи указывали бесконечно живущего индивида (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя. По мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит. Этот факт был отражен в модели пересекающихся поколений, которая полностью отрицает альтруистические связи между поколениями.

Вместе с тем, модель не внесла существенного вклада в понимание причин межстрановых различий в уровне ВВП на душу населения и темпах его роста. Модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса, Дж. Де Лонга, П. Ромера. Есть лишь единичные примеры (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо) когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве своём сближения уровня развития не происходит. Также, как и в модели Солоу, научно-технический прогресс в модели Рамсея — Касса — Купманса не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задается экзогенно.

В модели невозможна динамическая неэффективность, решения для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы, а значит невозможно неоптимальное по Парето равновесие в экономике, потому модель не показывает, как неправильная экономическая политика или ограничивающие социальные институты могут замедлить развитие страны. Другими словами, модель не объясняет причин, по которым бедные страны остаются бедными и не могут догнать богатые.

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Бланшар О. Ж., Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М.: Изд. дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Cass D.. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation // The Review of Economic Studies. — 1965. — Vol. 32, № 3. — P. 233—240.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University, Discussion Paper. — 1963. — № 163.
• Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta varia //The Econometric Approach to Development Planning - Part I. — 1965. — Vol. 28. — P. 225—300.
• Newbery D. M.. Ramsey Model // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 11172—11178. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Ramsey F. P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal. — 1928. — Vol. 38, № 152. — P. 543—559.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Sidrauski M. Rational Choice and Patterns of Growth in a Monetary Economy (англ.) // The American Economic Review : journal. — 1967. — Vol. 57, no. 2. — P. 534—544.
• Spear S. E., Young W. Optimum savings and optimal growth: Ramsey — Mavlinvaud — Koopmans nexus // Macroeconomic Dynamics. — 2014. — Vol. 18, № 1. — P. 215—243. — doi:10.1017/S1365100513000291.