Модель Диксита — Стиглица — Кругмана

Модель Диксита—Стиглица—Кругмана — макроэкономическая модель образования агломераций в условиях монополистической конкуренции и экономии от масштаба, являющаяся базисной для новой теории международной торговли^[англ.] и созданная экономистами Авинашем Дикситом, Джозефом Стиглицем и Полом Кругманом^[1].

История

В книге Э. Чемберлина «Теория монополистической конкуренции» от 1933 года (изложенная ранее в диссертации 1927 года)^[2], а через пару месяцев в работе Дж. Робинсон «Экономическая теория несовершенной конкуренции» также 1933 года вводятся понятия и допущения, характерные для монополистической конкуренции^[3].

Модель монополистической конкуренции возникла в совместной статье А. Диксита и Дж. Стиглица «Монополистическая конкуренция и оптимальное продуктовое разнообразие»^[4] 1977 года (на основе совместной работы 1975 года в Университете Варвик)^[5].

Данную модель дополнил и переработал в своих статьях Пол Кругман «Возрастающая отдача, монополистическая конкуренция и международная торговля»^[6] 1979 года и «Экономия от масштаба, дифференциация продуктов и структура торговли» 1980 года^[7], после чего была монография А. Диксита и В. Нормана^[англ.] 1980 года, а после работа Э. Хелпмана и П. Кругмана «Рыночная структура и внешняя торговля» 1985 года. П. Кругман дополнил анализ статьей «Возрастающая отдача и экономическая география» в 1991 году^[8], а работа «Пространственная экономика» М. Фуджиты, П. Кругмана и А. Венэйблса^[англ.] в 1999 году окончательно сформировала модель Диксита — Стиглица — Кругмана^[9].

Базовая модель

Допущения

П. Кругман дополняет базовую модель монополистической конкуренции (модель Диксита — Стиглица), интегрируя возрастающую отдачу от масштаба с несовершенной конкуренцией^[1].

Модель имеет ряд допущений:

Все потребители одинаковы (имеют одинаковые предпочтения)
Потребители потребляют всего два товара (промышленные и сельскохозяйственные товары)
Потребители имеют функцию предпочтения формы Кобба — Дугласа:

$U=M^{a}A^{1-a}$ ,

где А – потребление агрегированного сельскохозяйственного товара, М – подфункция полезности от потребления этих товаров (индекс потребления этих товаров), a - постоянная доля каждого вида товаров в бюджете потребителей.

Предпочтения промышленных товаров описываются функцией с постоянной эластичностью замещения:

$M=(\int _{0}^{n}m(i)^{p}di)^{1/p}$ ,

где 0<p<1, n — разновидности промышленных товаров, каждая потребляется в объеме m (i), i – номер разновидности товара, p — степень заменяемости двух любых разновидностей друг другом.

Эластичность замещения между разновидностями промышленных товаров:

$b=1/(1-p)$ ,

Бюджетное ограничение потребителя:

$Y=p^{A}A+\int _{0}^{n}p(i)m(i)di$ ,

где $p^{A}$ — цена единицы продуктов питания, $p(i)$ - цена единицы промышленного товара разновидности i, Y – доход потребителя, который максимизирует полезность при ограниченном бюджете.

Компенсированный спрос:

$m(j)=(p(j)/G)^{-b}M$ ,

где G – индекс цен на промышленные товары, М – индекс потребления промышленных товаров (аналог их количества)

Максимизация полезности потребителя:

$maxU=M^{a}A^{1-a}$ ,

при $Y=GM+p^{A}A$

Некомпенсированный спрос потребителя на сельскохозяйственные товары: $A=(1-a)Y/p^{A}$ ,

Некомпенсированный спрос потребителя на промышленные товары: $m(j)=aYp(j)^{-b}/G^{-(b-1)}$ , для j є[0,n],

Максимизированная полезность потребителя: $U=a^{a}(1-a)^{1-a}YG^{-a}(p^{A})^{-(1-a)}$ ,

где $G^{a}(p^{A})^{1-a}$ - агрегированный индекс цен, отражающий стоимость жизни для потребителей

Цены на все промышленные товары: $G=p^{M}n^{1/(1-b)}$ .

Айсберг

Включаем транспортные издержки, когда сельскохозяйственные и промышленные товары перевозятся между городами с издержками, так что из каждой единицы, отправленного из города r в город s доезжает меньше, разница тает по дороге (технологию транспортировки айсберга)^[1]:

$G_{s}=(\sum _{r=1}^{R}n_{r}(p_{r}^{M}T_{rs}^{M})^{1-b})^{1/(1-b)}$ , s=1,…,R,

где $G_{s}$ — индекс цен в городе s, R – различные города, $n_{r}$ - производство разновидностей в городе r, $p_{r}^{M}$ - цена у ворот завода, $p_{rs}^{M}=p_{r}^{M}T_{rs}^{M}$ — цена товара, привезенного в город s из r.

Суммарный спрос по всем городам s на разновидность товара, произведенную в городе r:

$q_{r}^{M}=a\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(p_{r}^{M}T_{rs}^{M})^{-b}G_{s}^{1-b}T_{rs}^{M}$ ,

Задача производителя

Производство сельскохозяйственных товаров происходит с постоянной отдачей в условиях совершенной конкуренции, а производство промышленных товаров происходит в условиях экономии масштаба, который возникает из-за уровня разнообразия, но не за счет объема или множественности операций. Технология одинакова для всех разнообразий и во всех локациях (городах), а при условиях единственного фактора производства (труда) общие затраты на производство промышленных товаров составят^[1]:

$l^{M}=F+c^{M}q^{M}$ ,

где $F$ — постоянные издержки труда, $c^{M}$ — предельные затраты труда, $q^{M}$ — количество продукции.

Так как потребители получают полезность от разнообразия, а количество разновидностей не ограничено, то каждый производитель создает свой продукт, таким образом в каждой местности находится своя специализированная фирма.

Прибыль фирмы, работающие в городе r:

$h_{r}=p_{r}^{M}q_{r}^{M}-w_{r}^{M}(F+c^{M}q_{r}^{M})$ ,

где $w_{r}^{M}$ — стоимость единицы труда работников, занятых в производстве промышленных товаров в городе r.

При заданном индексе цен $G_{s}$ , с учетом эластичности спроса, максимизирующая прибыль подразумевает:

$p_{r}^{M}=w_{r}^{M}c^{M}b/(b-1)$ ,

$q^{E}=F(b-1)/c^{M}$ , при h=0

где $q^{E}$ — выпуск фирмы в ситуации равновесия, не зависящий от расположения фирмы, размера рынка, а только от параметров технологии и эластичности спроса, когда менее эластичный спрос (при меньшей величине b) уменьшает размеры фирм и увеличивает количество разновидностей при заданном бюджете потребителей

$l^{E}=F+c^{M}q^{E}=Fb$ , при h=0

где $l^{E}$ , - спрос фирмы на труд в ситуации равновесия

$n_{r}^{E}=L_{r}^{M}/l^{E}=L_{r}^{M}/Fb$ , при h=0

где число фирм в городе r, в котором предлагается $L_{r}^{M}$ в условиях равновесия. Отсюда размер рынка не влияет ни на процент надбавки к предельным издержкам, ни на масштаб производства отдельных товаров. Возрастающая отдача от масштаба работает через изменения в ассортименте (разнообразии) товаров^[1].

Уравнение для оплаты труда

Уравнение оплаты труда при производстве промышленных товаров в условиях равновесия, то есть производители, максимизируя прибыль, находятся в точке безубыточности, а потребители максимизируют полезность с учетом бюджетного ограничения^[1]:

$w_{r}^{M}=((b-1)/c^{M}b)(a/q^{E}\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(T_{rs}^{M})^{1-b}G_{s}^{b-1})^{1/b}$ ,

Оплата труда выше, чем ниже транспортные издержки, богаче рынки сбыта фирмы и выше уровень цен на этих рынках, лучший доступ на этот рынок, меньше конкуренции на рынке.

Реальный уровень зарплаты сотрудников промышленности в местности r:

$w_{r}^{M}=w_{r}^{M}G^{-a}(p^{A})^{-(1-a)}$ ,

Реальный доход в каждой точке пропорционален номинальному доходу с поправкой на индекс стоимости жизни: $G^{a}(p^{A})^{1-a}$

Нормализация

Сделав ряд допущений^[1]: при $c^{m}=(b-1)/b=p$ и $p_{r}^{M}=w_{r}^{M}$ , чтобы $n_{r}^{E}=L_{r}^{M}/a$ , а $F=a/b$ , тогда $q^{E}=l^{E}=a$ :

$G_{r}=(1/a\sum _{s=1}^{R}L_{s}^{M}(w_{s}^{M}T_{rs}^{M})^{(}1-b))^{1/(1-b)}$

$w_{r}^{M}=(\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(T_{rs}^{M})^{(1-b)}G_{s}^{b-1})^{1/b}$ ,

Два последних уравнения характеризуют равновесие и устойчивость модели, что смещает анализ от количества производителей и цен на продукты к анализу количества промышленных рабочих и к уровню их зарплаты.

Эффект индекса цен и эффект домашнего рынка

При условии существовании двух городов, транспортные издержки внутри каждого города равны нулю^[1]. $(1-b)dG/G=L/a(G/w)^{b-1}(1-T^{1-b})(dL/L+(1-b)dw/w)$ ,

$bdw/w=Y/w(G/w)^{b-1}(1-T^{1-b})(dY/Y+(1-b)dG/G)$ ,

Отсюда отмечаем эффект индекса цен — прямой эффект изменения в распределении промышленности от индекса промышленных товаров. Предложение труда совершенно эластично $dw=0$ , таким образом увеличение занятости в промышленности снижает индекс цен (при 1-b<0 и T>1). Снижение цен происходит из-за уменьшения числа перевозок разновидностей товара из одного города в другой, что приводит к снижению общих транспортных расходов.

Эффект будет слабее (нивелирован) при неэластичном предложении труда и низких фиксированных издержках $dw>0$ , то есть при высокой конкуренции на рынке труда со стороны нанимателей.

$(b/Z+Z(1-b))dw/w+ZdL/L=dY/Y$ ,

где $Z=(1-T)^{1-b}/(1+T)^{1-b}$ ,

Отсюда отмечаем эффект домашнего рынка^[англ.] — более крупный рынок производит больше товаров и экспортирует промышленные товары из-за того, что рост спроса увеличивает число разновидностей товара на рынке, что снижает индекс цен, при прочих равных условиях. При совершенно эластичном предложении рабочей силы (dw=0) увеличение спроса на 1% ведет к увеличению занятости, а значит и производства, более чем на 1%. При dw>0 часть расходов уходит в рост зарплат, а значит при прочих равных условиях на более крупных рынках более высокие номинальные и реальные зарплаты. А в целом дает кумулятивный эффект для создания агломерации: небольшой прирост спроса вызывает диспропорционально больший прирост занятости, а значит еще прирост спроса и т.д.

Условия отсутствия черной дыры

При рассмотрении закрытой экономики при Z=1^[1]:

$dw/w=(1-a)dY/Y+(ab/(b-1)-1)dL/L$ ,

При условии (1-a)>0, рост дохода увеличивает реальную зарплату при фиксированной занятости, поскольку производители производят больше, а труд единственный фактор производства.

При росте занятости в промышленном секторе закрытой экономики до уровня постоянных расходов (dY=0), постоянных номинальных доходах и при фиксированном спросе, реальная зарплата стремится к снижению (бюджет потребителей фиксирован и распределяется на большее число работников). Однако рост занятости в производстве увеличивает количество разновидностей изготовления продукции, уменьшает G, и стремится повысить реальный доход. Последний эффект может быть сильней предыдущего: при сильном эффекте экономии от масштаба экономика страны начинает агломерировать в единую точку. Чтобы исключить ситуацию, когда прирост занятости будет увеличивать реальную зарплату в одном городе, а в этот город начнут приезжать еще рабочие, от этого зарплата будет расти и т.д., пока этот город не соберет всех рабочих в экономике, то есть станет «черной дырой» на рынке труда, используем условие отсутствия «черной дыры»:

$(ab/(b-1)-1)<0$ или $(b-1)/b=p>a$ .

Модель «центр-периферия»

Распределение промышленности между двумя регионами, изначально поровну наделёнными трудовыми ресурсами. Сплошной линией обозначено устойчивое равновесие, пунктирной — неустойчивое равновесие; K — точка бифуркации

Задаем динамику перемещения работников между городами: рабочие едут в регионы, в которых реальная зарплата выше средневзвешенной, из регионов, где реальная зарплата ниже средневзвешенной^[1]:

$dv_{r}/dt=y(w_{r}-\sum _{r}v_{r}w_{r})v_{r}=0$ ,

где производство сельскохозяйственной продукции имеет постоянную экономию от масштаба и бесплатный провоз; фермеры получают одинаковую зарплату во всех регионах ( $w^{A}=p^{A}=1$ ); а промышленные с издержками $1/T_{rs}$ единиц; рабочие не могут быть фермерами, и наоборот; модель двухсекторная (сельскохозяйственный и промышленный сектор); суммарное фиксированное предложение фермеров ( $L^{A}$ ) и рабочих ( $L^{M}$ ); в каждом регионе (r) фиксированная доля общего числа фермеров ( $f_{r}$ ) и рабочих ( $v_{r}$ ); $L^{M}=a$ и $L^{A}=1-a$ ; a — параметр предпочтения потребителей, технологии производства промышленных товаров и предложения труда.

Равновесие в модели наступает при решении системы 4R уравнений, определяющих доход потребителей ( $Y_{r}$ ), индекс цен на промышленные товары ( $G_{r}$ ), номинальные ( $w_{r}^{M}$ ) и реальные зарплаты ( $w_{r}$ )^[1]:

$Y_{r}=av_{r}w_{r}+(1-a)f_{r}$ ,

$G_{r}=(\sum _{s=1}^{R}v_{s}(w_{s}^{M}T_{sr}^{M})^{1-b})^{1/(1-b)}$ ,

$w_{r}^{M}=(\sum _{s=1}^{R}Y_{s}(T_{sr}^{M})^{1-b}G_{s}^{b-1})^{1/b}$ ,

$w_{r}=w_{r}G_{r}^{-a}$ .

При относительно высоких транспортных издержках равновесие (устойчивое) наступает при симметрическом распределении рабочих по регионам. При относительно низких транспортных издержках равновесие неустойчиво, а значит, при любом колебании происходит полное концентрация в одном из регионов. При средних транспортных издержках модель имеет пять равновесий, два из которых неустойчиво: при большом или малом v равновесие с полной концентрацией промышленности в одном из регионов, в противном случае – симметрическое равновесие, которые отражены на диаграмме, что позволяет модель Диксита—Стиглица—Кругмана использовать в качестве базовой Новой экономической географии^[10].

Заключение

При допущении постоянной отдачи от масштаба в условиях совершенной конкуренции цены на рынке формируются на уровне предельных издержек фирм, что приводит к проблеме делимости, то есть производственная деятельность делится без потерь эффективности до того момента, когда транспортные издержки равны нулю, превращая любой регион в автаркию. Возрастающая отдача от масштаба возникает из-за различий производителей, которые, концентрируясь, позволяют повышать эффективность в торговле, промышленности и управлении, и из-за роста населения, которое позволяет достичь роста хозяйственной деятельности на агрегированном уровне. Возрастающая отдача от масштаба в условиях совершенной конкуренции невозможна в связи с тем, что приводит к концентрации производства и её агломерации, к дифференциации (разнообразию) товаров и услуг и в итоге к монополистической конкуренции, при которой ценообразование происходит не на уровне предельных издержек, чтобы не фиксировать убытки^[11].
В случае нахождении равновесия происходит обмен между рынками товаров с учетом издержек торговли. Одинаковые потребители получают полезность от наличия выбора среди разновидностей одного и того же товара. Уровень полезности от набора зависит от эластичности замещения между этими товарами. Оптимальное количество фирм на рынке зависит от эластичности замещения и от размера постоянных издержек фирм, и стремится к единице^[11].
Регионы с большим спросом на промышленную продукцию, в которой наблюдается возрастающая отдача от масштаба, имеют большую долю в объеме производства и большую долю чистого экспорта промышленных товаров^[1].
Рост рынка увеличивает спрос на факторы производства, что приводит к увеличению цен этих факторов, - в регионах с большим реальным доходом более высокие заработные платы^[1].
Мобильные факторы производства (труд и капитал) склоны к миграции на рынки, на которых фирмы выплачивают относительно высокое вознаграждение^[1].
Фирмы принимают решение о месте своего размещения на основе принципа максимума прибыли^[1].
Изменения во внешнем окружении меняют равновесие, определяющее пространственное распределение рабочих и фирм^[1].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ Лимонов Л.Э. Региональная экономика и пространственное развитие. — М.: Юрайт, 2015. — Т. 1. — С. 335-369. — ISBN 978-5-9916-4444-0. Архивировано 22 декабря 2015 года.
↑ Ольсевич Ю. Конкуренция и монополия в условиях рыночной и переходной экономики / Чемберлин Э.. — Теория монополистической конкуренции. — М.: Экономика, 1996. — С. 5-28. — ISBN 5-900428-49-4. Архивировано 11 февраля 2022 года.
↑ Самуэльсон П. Монополистическая конкуренция – революция в теории. — Вехи экономической мысли. — СПб.: Экономическая школа ГУ ВШЭ, 2000. — Т. 2. — С. 354-370. — ISBN 5-900428-49-4. Архивировано 4 марта 2016 года. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
↑ Dixit A., Stiglitz J. Monopolistic competition and optimum product diversity // American Economic Review. — 1977. — P. 297-308. Архивировано 14 октября 2014 года.
↑ Dixit A., Stiglitz J. Monopolistic competition and optimum product diversity // Economic Research Paper University Warwick, England. — 1975. — Febrary (№ 64). Архивировано 5 марта 2016 года.
↑ Кругман П. Возрастающая отдача, монополистическая конкуренция и международная торговля. — Вехи экономической мысли. — СПб.: Экономическая школа ГУ ВШЭ, 2000. — Т. 2. — С. 523-532. — ISBN 5-900428-49-4. Архивировано 5 марта 2016 года. Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
↑ Krugman P. Scale economies, product differentiation, and the pattern of trade // American Economic Review. — 1980. — № 70. — С. 950-959. Архивировано 18 мая 2013 года.
↑ Krugman P. Increasing returns, monopolistic competition and international trade // Journal of Political Economy. — 1991. — № 99. — P. 483-499. Архивировано 6 ноября 2009 года.
↑ Матвеенко В. Д. Модель монополистической конкуренции Диксита-Стиглица: межстрановая версия / отв. ред. А. П. Киреев, В. Д. Матвеенко//Международная экономика. — СПб.: Экономическая школа ГУ ВШЭ, 2011. — Т. 7. — С. 45-55. — ISBN 978-5-903816-02-6. Архивировано 8 декабря 2015 года. Архивная копия от 8 декабря 2015 на Wayback Machine
↑ Combes P.-P., Mayer T., Thisse J.-F. Economic Geography: the Integration of Regions and Nations. — Princeton: Princeton University Press, 2008. — P. 55-100. — ISBN 978-0-691-12459-9.
↑ ¹ ² Fujita M., Krugman P., Venables A. J. The Spatial Economy: Cities, Regions, and International Trade. — Cambridge, Massachusetts: The MIT, 1999. — С. 367. — ISBN 0-262-06204-6.

[:1-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ Лимонов Л.Э. Региональная экономика и пространственное развитие. — М.: Юрайт, 2015. — Т. 1. — С. 335-369. — ISBN 978-5-9916-4444-0. Архивировано 22 декабря 2015 года.

[:2-2] Ольсевич Ю. Конкуренция и монополия в условиях рыночной и переходной экономики / Чемберлин Э.. — Теория монополистической конкуренции. — М.: Экономика, 1996. — С. 5-28. — ISBN 5-900428-49-4. Архивировано 11 февраля 2022 года.

[:3-3] Самуэльсон П. Монополистическая конкуренция – революция в теории. — Вехи экономической мысли. — СПб.: Экономическая школа ГУ ВШЭ, 2000. — Т. 2. — С. 354-370. — ISBN 5-900428-49-4. Архивировано 4 марта 2016 года. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine

[:4-4] Dixit A., Stiglitz J. Monopolistic competition and optimum product diversity // American Economic Review. — 1977. — P. 297-308. Архивировано 14 октября 2014 года.

[:5-5] Dixit A., Stiglitz J. Monopolistic competition and optimum product diversity // Economic Research Paper University Warwick, England. — 1975. — Febrary (№ 64). Архивировано 5 марта 2016 года.

[:6-6] Кругман П. Возрастающая отдача, монополистическая конкуренция и международная торговля. — Вехи экономической мысли. — СПб.: Экономическая школа ГУ ВШЭ, 2000. — Т. 2. — С. 523-532. — ISBN 5-900428-49-4. Архивировано 5 марта 2016 года. Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine

[:7-7] Krugman P. Scale economies, product differentiation, and the pattern of trade // American Economic Review. — 1980. — № 70. — С. 950-959. Архивировано 18 мая 2013 года.

[:8-8] Krugman P. Increasing returns, monopolistic competition and international trade // Journal of Political Economy. — 1991. — № 99. — P. 483-499. Архивировано 6 ноября 2009 года.

[:9-9] Матвеенко В. Д. Модель монополистической конкуренции Диксита-Стиглица: межстрановая версия / отв. ред. А. П. Киреев, В. Д. Матвеенко//Международная экономика. — СПб.: Экономическая школа ГУ ВШЭ, 2011. — Т. 7. — С. 45-55. — ISBN 978-5-903816-02-6. Архивировано 8 декабря 2015 года. Архивная копия от 8 декабря 2015 на Wayback Machine

[:10-10] Combes P.-P., Mayer T., Thisse J.-F. Economic Geography: the Integration of Regions and Nations. — Princeton: Princeton University Press, 2008. — P. 55-100. — ISBN 978-0-691-12459-9.

[:11-11] ¹ ² Fujita M., Krugman P., Venables A. J. The Spatial Economy: Cities, Regions, and International Trade. — Cambridge, Massachusetts: The MIT, 1999. — С. 367. — ISBN 0-262-06204-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]