Минимальная поверхность Шварца

Минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Карлом Шварцем.

В 1880-х годах Шварц и его студент Е. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности. Им позднее дал названия Алан Шён в его фундаментальном отчёте, где он описал гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности.

Поверхности генерировались с помощью симметрий: если дано решение задачи Плато для многоугольника, отражения поверхности относительно линий границы также даёт правильные минимальные поверхности, которые могут быть непрерывным образом соединены с исходным решением. Если минимальная поверхность встречает плоскость под прямыми углами, то зеркальное отражение относительно плоскости также может быть присоединено к поверхности. Следовательно, если дан подходящий начальный многоугольник, вписанный в единичную ячейку, периодическая поверхность может быть построена.

Поверхности Шварца имеют топологический род 3, минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей.

Они рассматривались как модели для периодических наноструктур в блок-сополимерах, электростанических эквипотенциальных поверхностях в кристаллах и гипотетических отрицательно искривлённых графитовых фазах.

Поверхность Шварца P («Primitive» = «Примитивная»)

Поверхность Шварца P

Шён назвал эти поверхности «примитивными», поскольку они имеют два переплетённых конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решётки. В то время как стандартная поверхность P имеет кубическую симметрию, ячейки могут иметь форму любого прямоугольника, что даёт семейство минимальных поверхностей с одной и той же топологией.

Поверхность можно аппроксимировать явной поверхностью

$\cos(x)+\cos(y)+\cos(z)=0\$.

Поверхность P рассматривалась для разработки прототипов тканевых каркасов с высоким отношением поверхности к объёму и высокой пористостью.

Поверхность Шварца D («Diamond» = «Алмаз»)

Поверхность Шварца D

Шён назвал эту поверхность «алмазом», поскольку она имеет два переплетающихся конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой полой версии алмазной структуры связи. В литературе эта поверхность иногда называется поверхностью F.

Поверхность может быть аппроксимирована явной поверхностью

$\sin(x)\sin(y)\sin(z)+\sin(x)\cos(y)\cos(z)+\cos(x)\sin(y)\cos(z)+\cos(x)\cos(y)\sin(z)=0.\$

Точное выражение существует в терминах эллиптических интегралов, основанных на параметризации Вейерштрасса — Эннепера.

Поверхность Шварца H («Hexagonal» = «Шестиугольная»)

Поверхность Шварца H

Поверхность Шварца H подобна катеноиду с треугольной границей, что позволяет заполнить всё пространство.

Поверхность Шварца CLP («Crossed layers of parallels» = «Скрещённые слои параллелей»)

Поверхность Шварца CLP

Иллюстрации

• http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/periodic.html
• Triply Periodic Surfaces of Genus 3
• Bicontinuous cubic phases based on triply periodic minimal surfaces
• Schwartz's Surface
• http://virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_m.html

Литература

• H. A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. — Berlin: Springer, 1933.
• E. R. Neovius. Akad. Abhandlungen. — Helsingfors, 1883.
• Alan H. Schoen. Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections // NASA Technical Note TN D-5541. — 1970.
• Hermann Karcher, Konrad Polthier. Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. — 1996. — Сентябрь (т. 354, № 1715).
• Alan L. Mackay. Periodic minimal surfaces // Nature. — 1985. — Апрель (т. 314, № 6012). — doi:10.1038/314604a0.
• Terrones H., Mackay A. L. Negatively curved graphite and triply periodic minimal surfaces. — 1994. — Декабрь (вып. 15, № 1). — doi:10.1007/BF01277558.
• W. H. Meeks. The theory of triply-periodic minimal surfaces // Indiana University Math. Journal. — 1990. — Т. 39, вып. 3.
• Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim, Junseok Kim. Finite Element Analysis of Schwarz P Surface Pore Geometries for Tissue-Engineered Scaffolds // Mathematical Problems in Engineering. — 2012. — doi:10.1155/2012/694194.
• Paul J.F. Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski. Exact computation of the triply periodic D (`diamond') minimal surface // Chemical Physics Letters. — 1999. — Декабрь (т. 314, вып. 5–6, 10).