Метод Рунге — Кутты

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты (в литературе встречается название методы Рунге — Кутта) — большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

К классу методов Рунге — Кутты относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности^[1]^[2]. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями^[3].

Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, а методы восьмого порядка — не менее 11 стадий. Для методов девятого и более высоких порядков (не имеющих, впрочем, большой практической значимости) неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения соответствующего порядка точности^[3].

Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка

Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (далее $\mathbf {y} ,\mathbf {f} ,\mathbf {k} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ , а $x,h\in \mathbb {R} ^{1}$ ).

{\textbf {y}}'={\textbf {f}}(x,{\textbf {y}}),\quad {\textbf {y}}(x_{0})={\textbf {y}}_{0}.

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

{\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

{\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}\left(x_{n},{\textbf {y}}_{n}\right),

{\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{1}\right),

{\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{2}\right),

{\textbf {k}}_{4}={\textbf {f}}\left(x_{n}+h,{\textbf {y}}_{n}+h\ {\textbf {k}}_{3}\right).

где $h$ — величина шага сетки по $x$ .

Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном шаге имеет порядок $O(h^{5})$ , а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок $O(h^{4})$ .

Явные методы Рунге — Кутты

Семейство явных методов Рунге — Кутты является обобщением как явного метода Эйлера, так и классического метода Рунге — Кутты четвёртого порядка. Оно задаётся формулами

{\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}{\textbf {k}}_{i},

где $h$ — величина шага сетки по $x$ , а вычисление нового значения проходит в $s$ этапов:

{\begin{array}{ll}{\textbf {k}}_{1}=&{\textbf {f}}(x_{n},{\textbf {y}}_{n}),\\{\textbf {k}}_{2}=&{\textbf {f}}(x_{n}+c_{2}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{21}h{\textbf {k}}_{1}),\\\cdots &\\{\textbf {k}}_{s}=&{\textbf {f}}(x_{n}+c_{s}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{s1}h{\textbf {k}}_{1}+a_{s2}h{\textbf {k}}_{2}+\cdots +a_{s,s-1}h{\textbf {k}}_{s-1})\end{array}}

Конкретный метод определяется числом $s$ и коэффициентами $b_{i},a_{ij}$ и $c_{i}$ . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу (называемую таблицей Бутчера):

{\begin{array}{c|ccccc}0&&&&&\\c_{2}&a_{21}&&&&\\c_{3}&a_{31}&a_{32}&&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &&\\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss-1}&\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s-1}&b_{s}\end{array}}

Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия $\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}$ для $i=2,\ldots ,s$ . Если требуется, чтобы метод имел порядок $p$ , то следует также обеспечить условие

{\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})-{\textbf {y}}(h+x_{0})=O(h^{p+1}),

где ${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})$ — приближение, полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений относительно коэффициентов метода.

Неявные методы Рунге — Кутты

Все до сих пор упомянутые методы Рунге — Кутты являются явными методами^[англ.]. К сожалению, явные методы Рунге — Кутты, как правило, непригодны для решения жёстких систем уравнений из-за малой области их абсолютной устойчивости^[4]. Неустойчивость явных методов Рунге — Кутты создаёт весьма серьёзные проблемы и при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных^[англ.].

Неустойчивость явных методов Рунге — Кутты мотивировала развитие неявных методов. Неявный метод Рунге — Кутты имеет вид^[5]^[6]:

y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},

где

k_{i}=f{\bigl (}x_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}{\bigr )},\quad i=1,\ldots ,s.

Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов $a_{ij}$ для него имеет нижний треугольный вид (включая и нулевую главную диагональ) — в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид. Это также видно по таблице Батчера^[англ.].

{\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}

Следствием этого различия является необходимость на каждом шагу решать систему уравнений для $k_{i},i=1,2,...,s$ , где $s$ — число стадий. Это увеличивает вычислительные затраты, однако при достаточно малом $h$ можно применить принцип сжимающих отображений и решать данную систему методом простой итерации^[7]. В случае одной итерации это увеличивает вычислительные затраты всего лишь в два раза.

С другой стороны, Жан Кунцма́н^[фр.] (1961) и Джон Батчер^[англ.] (1964) показали, что при любом количестве стадий $s$ существует неявный метод Рунге — Кутты с порядком точности $p=2s$ . Это значит, например, что для описанного выше явного четырёхстадийного метода четвёртого порядка существует неявный аналог с вдвое большим порядком точности.

Неявный метод Рунге — Кутты второго порядка

Простейшим неявным методом Рунге — Кутты является модифицированный метод Эйлера «с пересчётом». Он задаётся формулой:

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h{\frac {\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})+\mathbf {f} (x_{n+1},\mathbf {y} _{n+1})}{2}}$ .

Для его реализации на каждом шаге необходимы как минимум две итерации (и два вычисления функции).

Прогноз:

{\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})

.

Коррекция:

\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+h{\frac {\mathbf {f} (x_{n},\mathbf {y} _{n})+\mathbf {f} (x_{n+1},{\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1})}{2}}

.

Вторая формула — это простая итерация решения системы уравнений относительно $\mathbf {y} _{n+1}$ , записанной в форме сжимающего отображения. Для повышения точности итерацию-коррекцию можно сделать несколько раз, подставляя ${\tilde {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n+1}$ . Модифицированный метод Эйлера «с пересчётом» имеет второй порядок точности.

Устойчивость

Преимуществом неявных методов Рунге — Кутты в сравнении с явными является их бо́льшая устойчивость, что особенно важно при решении жестких уравнений. Рассмотрим в качестве примера линейное уравнение y' = λy. Обычный метод Рунге — Кутты, применённый к этому уравнению, сведётся к итерации $y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}$ , с r, равным

r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},

где $e$ обозначает вектор-столбец из единиц^[8]. Функция $r$ называется функцией устойчивости^[9]. Из формулы видно, что $r$ является отношением двух полиномов степени $s$ , если метод имеет $s$ стадий. Явные методы имеют строго нижнюю треугольную матрицу $A,$ откуда следует, что $\det(I-zA)=1,$ и что функция устойчивости является многочленом^[10].

Численное решение данного примера сходится к нулю при условии $|r(z)|<1$ с $z=h\lambda$ . Множество таких $z$ называется областью абсолютной устойчивости. В частности, метод называется A-устойчивым, если все $z$ с ${\textrm {Re}}(z)<0$ находятся в области абсолютной устойчивости. Функция устойчивости явного метода Рунге — Кутты является многочленом, поэтому явные методы Рунге — Кутты в принципе не могут быть A-устойчивыми^[10].

Если метод имеет порядок $p$ , то функция устойчивости удовлетворяет условию $r(z)={\textrm {e}}^{z}+O(z^{p+1})$ при $z\to 0$ . Таким образом, представляет интерес отношение многочленов данной степени, приближающее экспоненциальную функцию наилучшим образом. Эти отношения известны как аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде с числителем степени $m$ и знаменателем степени $n$ А-устойчива тогда и только тогда, когда $m\leq n\leq m+2.$ ^[11]

$s$ -стадийный метод Гаусса — Лежандра имеет порядок $2s$ , поэтому его функция устойчивости является приближением Паде $m=n=s$ . Отсюда следует, что метод является A-устойчивым^[12]. Это показывает, что A-устойчивые методы Рунге — Кутты могут иметь сколь угодно высокий порядок. В отличие от этого, порядок А-устойчивости методов Адамса не может превышать два.

Произношение

Согласно грамматическим нормам русского языка, фамилия Ку́тта склоняется, поэтому говорят: «Метод Ру́нге — Ку́тты». Правила русской грамматики предписывают склонять все фамилии (в том числе и мужские), оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение — фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма́, Золя́^[13]. Однако иногда встречается несклоняемый вариант «Метод Ру́нге — Ку́тта» (например, в книге^[14]).

Пример решения на алгоритмических языках программирования

y''+4y=\cos 3x,\quad y(0)=0.8,\ y'(0)=2,\ x\in [0,1],\ h=0.1

производя замену $y'=z$ и перенося $4y$ в правую часть, получаем систему:

{\begin{cases}y'=z=g(x,y,z)\\z'=\cos(3x)-4y=f(x,y,z)\end{cases}}

код на Java для решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты

public class MainClass {

	public static void main(String[] args) {
		int k = 2;
		double Xo, Yo, Y1, Zo, Z1;
		double k1, k2, k4, k3, h;
		double q1, q2, q4, q3;
                /*
                 *Начальные условия
                 */
		Xo = 0;
		Yo = 0.8;
                Zo = 2;

		h = 0.1; // шаг

		System.out.println("\tX\t\tY\t\tZ");
		for(; r(Xo,2)<1.0; Xo += h){
			
			k1 = h * f(Xo, Yo, Zo);
			q1 = h * g(Xo, Yo, Zo);
			
			k2 = h * f(Xo + h/2.0, Yo + q1/2.0, Zo + k1/2.0);
			q2 = h * g(Xo + h/2.0, Yo + q1/2.0, Zo + k1/2.0);
			
			k3 = h * f(Xo + h/2.0, Yo + q2/2.0, Zo + k2/2.0);
			q3 = h * g(Xo + h/2.0, Yo + q2/2.0, Zo + k2/2.0);
			
			k4 = h * f(Xo + h, Yo + q3, Zo + k3);
			q4 = h * g(Xo + h, Yo + q3, Zo + k3);
			
			Z1 = Zo + (k1 + 2.0*k2 + 2.0*k3 + k4)/6.0;
			Y1 = Yo + (q1 + 2.0*q2 + 2.0*q3 + q4)/6.0;
			System.out.println("\t" + r(Xo + h, k) + "\t\t" + r(Y1 ,k) + "\t\t" + r(Z1 ,k));
			Yo = Y1;
			Zo = Z1;
		}
		
	}
        /**
         * функция для округления и отбрасывания "хвоста"
         */
	public static double r(double value, int k){
		return (double)Math.round((Math.pow(10, k)*value))/Math.pow(10, k);
	}
        /**
         * функции, которые получаются из системы
         */
	public static double f(double x, double y, double z){
		return (Math.cos(3*x) - 4*y);
	}
	public static double g(double x, double y, double z){
		return (z);
	}

}

Код на языке C#

using System;
using System.Collections.Generic;

namespace PRJ_RungeKutta
{
    /// <summary>
    /// Реализация метода Ру́нге — Ку́тты для обыкновенного дифференциального уравнения
    /// </summary>
    public abstract class RungeKutta
    {
        /// <summary>
        /// Текущее время
        /// </summary>
        public double t;  
        /// <summary>
        /// Искомое решение Y[0] — само решение, Y[i] — i-я производная решения
        /// </summary>
        public double[] Y; 
        /// <summary>
        /// Внутренние переменные 
        /// </summary>
        double[] YY, Y1, Y2, Y3, Y4;
        protected double[] FY;
        /// <summary>
        /// Конструктор
        /// </summary>
        /// <param name="N">размерность системы</param>
        public RungeKutta(uint N)  
        {
            Init(N);
        }
        /// <summary>
        /// Конструктор
        /// </summary>
        public RungeKutta(){}
        /// <summary>
        /// Выделение памяти под рабочие массивы
        /// </summary>
        /// <param name="N">Размерность массивов</param>
        protected void Init(uint N)
        {             
            Y = new double[N];
            YY = new double[N];
            Y1 = new double[N];
            Y2 = new double[N];
            Y3 = new double[N];
            Y4 = new double[N];
            FY = new double[N];
        }
        /// <summary>
        /// Установка начальных условий
        /// </summary>
        /// <param name="t0">Начальное время</param>
        /// <param name="Y0">Начальное условие</param>
        public void SetInit(double t0, double[] Y0) 
        {                                     
            t = t0;
            if (Y == null) 
                Init((uint)Y0.Length);
            for (int i = 0; i < Y.Length; i++)
                Y[i] = Y0[i];
        }
        /// <summary>
        /// Расчет правых частей системы
        /// </summary>
        /// <param name="t">текущее время</param>
        /// <param name="Y">вектор решения</param>
        /// <returns>правая часть</returns>
        abstract public double[] F(double t, double[] Y); 
        /// <summary>
        /// Следующий шаг метода Рунге-Кутта
        /// </summary>
        /// <param name="dt">текущий шаг по времени (может быть переменным)</param>
        public void NextStep(double dt)
        {
            int i;

            if (dt < 0) return;

            // рассчитать Y1
            Y1 = F(t, Y);

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                YY[i] = Y[i] + Y1[i] * (dt / 2.0);
            
            // рассчитать Y2
            Y2 = F(t + dt / 2.0, YY);

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                YY[i] = Y[i] + Y2[i] * (dt / 2.0);
            
            // рассчитать Y3
            Y3 = F(t + dt / 2.0, YY);

            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                YY[i] = Y[i] + Y3[i] * dt;
            
            // рассчитать Y4
            Y4 = F(t + dt, YY);

            // рассчитать решение на новом шаге
            for (i = 0; i < Y.Length; i++)
                Y[i] = Y[i] + dt / 6.0 * (Y1[i] + 2.0 * Y2[i] + 2.0 * Y3[i] + Y4[i]);

            // рассчитать текущее время
            t = t + dt; 
        }
    }
    class TMyRK : RungeKutta
    {
        public TMyRK(uint N) : base(N) { }

        /// <summary>
        /// пример математический маятник 
        /// y''(t)+y(t)=0
        /// </summary>
        /// <param name="t">Время</param>
        /// <param name="Y">Решение</param>
        /// <returns>Правая часть</returns>
        public override double[] F(double t, double[] Y)
        {
            FY[0] =  Y[1]; 
            FY[1] = -Y[0]; 
            return FY;
        }
        /// <summary>
        /// Пример использования
        /// </summary>
        static public void Test()
        {
            // Шаг по времени
            double dt = 0.001;
            // Объект метода
            TMyRK task = new TMyRK(2);
            // Определим начальные условия y(0)=0, y'(0)=1 задачи
            double[] Y0 = { 0, 1 }; 
            // Установим начальные условия задачи
            task.SetInit(0, Y0);
            // решаем до 15 секунд
            while (task.t <= 15) 
            {
                Console.WriteLine("Time = {0:F5}; Func = {1:F8};  d Func / d x = {2:F8}", task.t, task.Y[0], task.Y[1]); // вывести t, y, y'
                // рассчитать на следующем шаге, шаг интегрирования 
                task.NextStep(dt);
            }
            Console.ReadLine();
        }
    }

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            TMyRK.Test();
        }
    }
}

В программе на С# используется абстрактный класс RungeKutta, в котором следует переопределить абстрактный метод F, задающий правые части уравнений.

Пример решения в среде MATLAB

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутты является одним из самых распространённых численных методов решений в технике. В среде MATLAB реализована его одна из разновидностей — метод Дормана — Принса^[англ.]. Для решения системы уравнений необходимо сначала записать функцию, вычисляющую производные, то есть функции y = g(x, y, z) и z = cos(3x) − 4y = f(x, y, z), о чём сказано выше. В одном из каталогов, к которому имеется доступ из системы MATLAB, нужно создать текстовый файл с именем (например) runge.m со следующим содержимым (для MATLAB версии 5.3):

MATLAB, runge.m

function Dy = runge(x, y)
Dy = y(:);
Dy(1) = y(2);
Dy(2) = cos(3*x) - 4*y(1);

Имя файла и имя функции должно совпадать, но оно может быть любым неиспользуемым ранее.

Затем необходимо создать главный файл c именем, например, main.m, который будет выполнять основные вычисления. Этот главный файл будет содержать следующий текст:

MATLAB, main.m

clear; clc; % Очистка памяти и экрана
h = 0.1; % Шаг интегрирования
x_fin = 8; % Конечное время интегрирования
y0 = 0.8; % Начальное значение функции
Dy0 = 2; % Начальное значение производной функции
[x, y] = ode45('runge', [0:h:x_fin], [y0 Dy0]); % Метод Рунге — Кутты
plot(x, y, 'LineWidth', 2); grid; % Построение графика и сетки
legend('y(x)', 'y''(x)', 0); % Легенда на графике

Так как MATLAB ориентирован на работу с матрицами, решение по методу Рунге — Кутты очень легко выполняется для целого ряда x, как, например, в приведённом примере программы. Здесь решение — график функции в пределах времён от 0 до x_fin.

Решение в среде MATLAB

Переменные x и y, полученные в результате работы функции ODE45, есть векторы значений. Очевидно, что решение конкретно заданного выше примера — второй элемент x, так как первое значение — 0, шаг интегрирования h = 0,1, а интересующее значение x = 0,1. Следующая запись в командном окне MATLAB даст искомое решение:

MATLAB, решение

y1 = y(find(x == 0.1))

Ответ: y1 = 0,98768

Примечания

↑ Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. . Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 630 с. — ISBN 5-93208-043-4. — С. 363—375.
↑ Ильина В. А., Силаев П. К. . Численные методы для физиков-теоретиков. Ч. 2. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 118 с. — ISBN 5-93972-320-9. — С. 16—30.
↑ ¹ ² Butcher J. C.^[англ.] . Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. — New York: John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-72335-7.
↑ Süli & Mayers, 2003, p. 349—351.
↑ Iserles, 1996, p. 41.
↑ Süli & Mayers, 2003, p. 351—352.
↑ Неявные методы Рунге — Кутты Архивная копия от 6 марта 2019 на Wayback Machine.
↑ Hairer & Wanner, 1996, p. 40—41.
↑ Hairer & Wanner, 1996, p. 40.
↑ ¹ ² Iserles, 1996, p. 60.
↑ Iserles, 1996, p. 62—63.
↑ Iserles, 1996, p. 63.
↑ Как склонять фамилии (трудные случаи) — «Грамота.ру» — справочно-информационный Интернет-портал «Русский язык» (неопр.). Дата обращения: 5 июля 2016. Архивировано 23 мая 2018 года.
↑ Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. . Численные методы анализа. 3-е изд. — М.: Наука, 1967.

Литература

Hairer E., Wanner G. . Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. 2nd ed. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-3-540-60452-5.
Iserles A. . A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996. — ISBN 978-0-521-55655-2.
Süli E., Mayers D. . An Introduction to Numerical Analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-00794-1.

[1] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. . Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 630 с. — ISBN 5-93208-043-4. — С. 363—375.

[2] Ильина В. А., Силаев П. К. . Численные методы для физиков-теоретиков. Ч. 2. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 118 с. — ISBN 5-93972-320-9. — С. 16—30.

[ReferenceA-3] ¹ ² Butcher J. C.^[англ.] . Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. — New York: John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-72335-7.

[_fe36a07a52b3923f-4] Süli & Mayers, 2003, p. 349—351.

[_5fe1dcdc57721ae0-5] Iserles, 1996, p. 41.

[_20c5221bfb7c5277-6] Süli & Mayers, 2003, p. 351—352.

[7] Неявные методы Рунге — Кутты Архивная копия от 6 марта 2019 на Wayback Machine.

[_f0599653efbb0727-8] Hairer & Wanner, 1996, p. 40—41.

[_56436d64278ecaec-9] Hairer & Wanner, 1996, p. 40.

[_5fe1dadc5772175b-10] ¹ ² Iserles, 1996, p. 60.

[_b181dfc37b171b88-11] Iserles, 1996, p. 62—63.

[_5fe1dadc57721758-12] Iserles, 1996, p. 63.

[13] Как склонять фамилии (трудные случаи) — «Грамота.ру» — справочно-информационный Интернет-портал «Русский язык» (неопр.). Дата обращения: 5 июля 2016. Архивировано 23 мая 2018 года.

[14] Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. . Численные методы анализа. 3-е изд. — М.: Наука, 1967.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]