Магнитная индукция

Магнитная индукция
Магнитная индукция
Размерность	MT−2I−1
Единицы измерения
СИ	Тл
СГС	Гс
Примечания
	Векторная величина

Магни́тная инду́кция — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля, а именно характеристикой его действия на движущиеся заряженные частицы и на обладающие магнитным моментом тела.

Стандартное обозначение: ${\vec {B}}$ ; единица измерения в СИ — тесла (Тл), в СГС — гаусс (Гс) (связь: 1 Тл = 10⁴ Гс).

Величина магнитной индукции фигурирует в ряде важнейших формул электродинамики, включая уравнения Максвелла.

Для измерения магнитной индукции ${\vec {B}}$ используются магнитометры-тесламетры. Также она может быть найдена расчётным путём — в статической ситуации для этого достаточно знать пространственное распределение токов.

Вектор ${\vec {B}}$ в общем случае зависит от координат рассматриваемой точки и времени $t$ . Он не инвариантен относительно преобразований Лоренца и изменяется при смене системы отсчёта.

Физический смысл

Магнитная индукция ${\vec {B}}$ — это такой вектор, что сила Лоренца ${\vec {F}}$ , действующая со стороны магнитного поля^[1] на заряд $q^{*}$ , движущийся со скоростью ${\vec {v}}$ , равна

{\vec {F}}=q^{*}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]

(по величине

F=q^{*}vB\sin \alpha

).

Косым крестом обозначено векторное произведение, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (вектор ${\vec {F}}$ перпендикулярен им обоим и направлен по правилу левой руки).

Также магнитная индукция может быть определена^[2] как отношение максимального механического момента сил, действующих на рамку с током, помещённую в предполагаемое однородным (на расстояниях порядка размера рамки) магнитное поле, к произведению силы тока $I^{*}$ в рамке на её площадь. Момент сил зависит от ориентации рамки и достигает максимального значения при каких-то определённых углах. Звёздочка у символа указывает на то, что заряд или ток являются «пробными», то есть используемыми именно для регистрации поля, в отличие от тех же величин без звёздочки.

Магнитная индукция выступает основной, фундаментальной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля ${\vec {E}}$ .

Способы расчёта

Общий случай

В общем случае расчёт магнитной индукции проводится совместно с расчётом электрической составляющей электромагнитного поля посредством решения системы уравнений Максвелла:

\mathrm {div} \,(\varepsilon {\vec {E}})={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\ \ \ \mathrm {rot} \,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}},

\mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,\ \ \ \ \,\mathrm {rot} \,{\frac {\vec {B}}{\mu }}=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}

,

где $\mu _{0}$ — магнитная постоянная, $\mu$ — магнитная проницаемость, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость, а $c$ — скорость света в вакууме. Через $\rho$ обозначена плотность заряда (Кл/м³) и через ${\vec {j}}$ плотность тока (А/м²).

Магнитостатика

В магнитостатическом пределе^[3] расчёт магнитного поля может быть выполнен с использованием формулы Био—Савара—Лапласа. Вид этой формулы несколько различен для ситуаций, когда поле создаётся текущим по проводу $L_{1}$ током $I$ и когда оно создаётся объёмным распределением тока:

{\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{L_{1}}{\frac {I\left({\vec {r}}_{1}\right)d{\vec {l}}_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},\qquad {\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}_{1}\right)dV_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}}

.

В магнитостатике эта формула играет ту же роль, что закон Кулона в электростатике. Формула позволяет вычислить магнитную индукцию в вакууме. Для случая магнитной среды необходимо использовать уравнения Максвелла (без слагаемых с производными по времени).

Если заранее очевидна геометрия поля, помогает теорема Ампера о циркуляции магнитного поля^[4] (эта запись является интегральной формой уравнения Максвелла для $\mathrm {rot} \,{\vec {B}}$ в вакууме):

\oint \limits _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{0}\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}

.

Здесь $S$ — произвольная поверхность, натянутая на выбранный замкнутый контур $L$ .

Простые примеры

Вектор магнитной индукции прямого провода с током $I$ на расстоянии $a$ от него составляет

{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\mu I}{2\pi a}}\cdot {\vec {e}}_{\varphi }

,

где ${\vec {e}}_{\varphi }$ — единичный вектор вдоль окружности, по оси симметрии которой проложен провод. Предполагается, что среда однородна.

Вектор магнитной индукции прямого внутри соленоида с током $I$ и числом витков на единицу длины $n$ равен

{\vec {B}}=\mu _{0}\mu nI\cdot {\vec {e}}_{z}

,

где ${\vec {e}}_{z}$ — единичный вектор вдоль оси соленоида. Здесь также предполагается однородность магнетика, которым заполнен соленоид.

Связь с напряжённостью

Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны через соотношение

{\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}

,

где $\mu$ — магнитная проницаемость среды (в общем случае это тензорная величина, но в большинстве реальных случаев её можно считать скаляром, то есть просто константой конкретного материала).

Основные уравнения

Поскольку вектор магнитной индукции является одной из основных фундаментальных физических величин в теории электромагнетизма, он входит в большое число уравнений, иногда непосредственно, иногда через связанную с ним напряжённость магнитного поля. По сути, единственная область в классической теории электромагнетизма, где он отсутствует, — это электростатика.

Некоторые из уравнений:

Три из выписанных выше четырех уравнений Максвелла (основных уравнений электродинамики). Их физическое содержание: уравнение для $\mathrm {div} \,{\vec {B}}$ — закон отсутствия монополя, для $\mathrm {rot} \,{\vec {E}}$ — закон электромагнитной индукции Фарадея, для $\mathrm {rot} \,{\vec {B}}$ — закон Ампера — Максвелла.
Формула силы Лоренца при наличии и магнитного ( ${\vec {B}}$ ), и электрического ( ${\vec {E}}$ ) поля:
${\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]$ .
Выражение для силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на ток (участок провода с током):
$d{\vec {F}}=\left[I^{*}{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]$ или $d{\vec {F}}=\left[{\vec {j}}^{*}dV\times {\vec {B}}\right]$ .
Выражение для момента силы, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь $m^{*}$ (виток с током, катушку или постоянный магнит):
${\vec {M}}={\vec {m}}^{*}\times {\vec {B}}$ .
Выражение для потенциальной энергии магнитного диполя в магнитном поле:
$U=-{\vec {m}}^{*}\cdot {\vec {B}}$ ,

из которого следуют выражения для силы, действующей на магнитный диполь в неоднородном магнитном поле,

Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на точечный магнитный заряд:
${\vec {F}}=K{\frac {q_{m}^{*}{\vec {r}}}{r^{3}}}.$

(это выражение, точно соответствующее обычному закону Кулона, широко используется для формальных вычислений, для которых ценна его простота, несмотря на то, что реальных магнитных зарядов в природе не обнаружено; также может прямо применяться к вычислению силы, действующей со стороны магнитного поля на полюс длинного тонкого магнита или соленоида).

Выражение для плотности энергии магнитного поля
$w={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}\mu }}$ .

Оно входит (вместе с энергией электрического поля) и в выражение для энергии электромагнитного поля, и в лагранжиан электромагнитного поля, и в его действие. Последнее же с современной точки зрения является фундаментальной основой электродинамики (как классической, так в принципе и квантовой).

Типичные значения

характерные значения магнитной индукции
объект	$B$ , Тл	объект	$B$ , Тл
магнитоэкранируемая комната	10^-14	солнечное пятно	0,15
межзвёздное пространство	10^-10	небольшой магнит (Nd-Fe-B)	0,2
магнитное поле Земли	5*10^-5	большой электромагнит	1,5
1 см от провода с током 100 А	2*10^-3	сильный лабораторный магнит	10
небольшой магнит (феррит)	0,01	поверхность нейтронной звезды	10⁸

Примечания

↑ Если учитывать и действие электрического поля ${\vec {E}}$ , то формула (полной) силы Лоренца принимает вид:
${\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}[{\vec {v}}\times {\vec {B}}].$
При отсутствии электрического поля (или если член, описывающий его действие, специально вычесть из полной силы) имеем формулу, приведённую в основном тексте.
↑ Это определение с современной точки зрения менее фундаментально, чем приведённое выше (и является просто его следствием), однако с точки зрения близости к одному из практических способов измерения магнитной индукции может быть полезным; также и с исторической точки зрения.
↑ То есть в частном случае постоянных токов и постоянных электрического и магнитного полей или — приближённо — если изменения настолько медленны, что ими можно пренебречь.
↑ Являющаяся частным магнитостатическим случаем закона Ампера — Максвелла.

См. также

[1] Если учитывать и действие электрического поля ${\vec {E}}$ , то формула (полной) силы Лоренца принимает вид:
${\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}[{\vec {v}}\times {\vec {B}}].$
При отсутствии электрического поля (или если член, описывающий его действие, специально вычесть из полной силы) имеем формулу, приведённую в основном тексте.

[2] Это определение с современной точки зрения менее фундаментально, чем приведённое выше (и является просто его следствием), однако с точки зрения близости к одному из практических способов измерения магнитной индукции может быть полезным; также и с исторической точки зрения.

[3] То есть в частном случае постоянных токов и постоянных электрического и магнитного полей или — приближённо — если изменения настолько медленны, что ими можно пренебречь.

[4] Являющаяся частным магнитостатическим случаем закона Ампера — Максвелла.

[1]

[2]

[3]

[4]

Магнитная индукция
${\vec {B}}$
Размерность	MT⁻²I⁻¹
Единицы измерения
СИ	Тл
СГС	Гс
Примечания
Векторная величина