Линейная частотная модуляция

Лине́йная часто́тная модуля́́ция (ЛЧМ) сигнала — это вид частотной модуляции, при которой частота несущего сигнала в зависимости от времени изменяется по линейному закону.

Математическое описание

Во временной области

Сигнал ЛЧМ в течение цикла нарастания частоты

Изменение частоты $f(t)$ внутри импульсов с ЛЧМ происходит по линейному закону:

$f(t)=f_{0}+b\cdot t,\quad -{\frac {T_{\text{c}}}{2}}\leqslant t\leqslant {\frac {T_{\text{c}}}{2}},$

где $f_{0}$ — начальная частота сигнала;

$b=(F_{\text{max}}-f_{0})/T_{\text{c}};\$ $T_{\text{c}}$ — длительность сигнала;

$F_{\text{max}}$ — максимальное значение частоты сигнала.

Если Фаза сигнала с ЛЧМ определяется как:

$\varphi (t)=2\pi \int \limits _{0}^{t}f(t)\,dt=2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right),$

тогда ЛЧМ сигнал может быть описан выражением:

$s(t)=S_{0}\cos\{\varphi _{0}+\varphi (t)\}=S_{0}\cos \left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\},$

или в комплексном виде:

$s(t)=S_{0}e^{j\left[\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right]},$

где $S_{0}$ — амплитуда сигнала;

$j$ — мнимая единица;

$\varphi _{0}$ — начальная фаза.

В частотной области

Спектр ЛЧМ:

${\begin{cases}S(\omega )={\begin{cases}{\frac {A_{0}}{2}}{\sqrt {\frac {T_{c}}{\Delta F_{m}}}},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\varphi (\omega )={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{4}}-{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2\Delta \Omega _{M}}}T_{c},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}.$

Обработка

Сопоставление волна (wave) — вейвлет, ЛЧМ-сигнал (chirp) — чирплет

В обработке ЛЧМ сигналов чирплет-преобразование — это скалярное произведение входного сигнала на семейство элементарных математических функций, называемых чирплетами.

Генерация

• С помощью генератора управляемого напряжением (ГУН) при подаче пилообразного напряжения на его управляющий вход, но обычно ГУНы имеют нелинейную зависимость выходной частоты от управляющего напряжения.
• С помощью специализированных блоков — генераторов качающейся частоты (ГКЧ).
• Методом непосредственного цифрового синтеза (англ. DDS, direct digital synthesis), который можно реализовать, например:
  • с помощью специализированной микросхемы AD9910;
  • с помощью микросхемы 1508ПЛ8Т Архивная копия от 24 февраля 2009 на Wayback Machine: Предусмотрена возможность работы микросхем совместно с внешними схемами фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и ГУН для синтеза ЛЧМ-сигналов в диапазоне до нескольких гигагерц с сохранением высокой точности и скорости перестройки частоты.

Применение

ЛЧМ-сигналы применяются в радиолокации в качестве способа формирования и обработки зондирующего импульса. Применение ЛЧМ-сигнала позволяет повысить точность измерений дальности и скорости объекта в радиолокации.

См. также

• Чирплет
• Методы расширения спектра

Литература

1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М.: «Высшая школа», 2000. — 462 с. — ISBN 5-06-003843-2.
2. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2006. — 719 с. — ISBN 5-7107-7985-7.
3. Mahafza B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8.