Лагранжева система

В математике лагранжевой системой называется пара $(Y,L)$ гладкого расслоения $Y\to X$ и лагранжевой плотности $L$, которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения $Y\to X$.

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение $Q\to \mathbb {R}$ над осью времени $\mathbb {R}$ (в частности, $Q=\mathbb {R} \times M$, если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжева плотность $L$ (или просто лагранжиан) порядка $r$ определяется как $n$-форма, $n=$dim$X$, на многообразии струй $J^{r}Y$ порядка $r$ сечений расслоения $Y$. Лагранжиан $L$ может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры $O_{\infty }^{*}(Y)$ внешних форм на многообразиях струй расслоения $Y\to X$. Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор $\delta$, который, действуя на $L$, определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа $\delta L$. Относительно координат $(x^{\lambda },y^{i})$ на расслоении $Y$ и соответствующих координат $(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})$ ($\Lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})$, $|\Lambda |=k\leq r$) на многообразии струй $J^{r}Y$ лагранжиан $L$ и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:

$L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,$

$\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},$

где

$d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,$

обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму

$L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.$

Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа $\delta L=0$.

Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу

$dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},$

где

$d_{H}\phi =dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)$

- полный дифференциал и $\Theta _{L}$ - эквивалент Лепажа лагранжиана $L$. Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.

В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.

См. также

• Лагранжиан
• Вариационное исчисление
• Вариационный бикомплекс
• Уравнение Эйлера — Лагранжа
• Теорема Нётер
• Тождества Нётер
• Калибровочная симметрия (математика)

Литература

• Olver, P. Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 (arXiv: 0908.1886)

Ссылки

• Sardanashvily, G., Graded Lagrangian formalism, Int. G. Geom. Methods Mod. Phys. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508 (недоступная ссылка)