Кэлерово многообразие

Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.

Определения

Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие $(K,\omega )$ с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой эрмитово многообразие с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.

Связь между определениями

Пусть $h$ — эрмитова форма, $\omega$ — симплектическая форма и $J$ — почти комплексная структура. Согласуемость $\omega$ и $J$ означает, что форма:

$g(u,v)=\omega (u,Jv)$

является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:

$h=g-i\omega .$

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии $K$ каждая строго плюригармоническая функция $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$ порождает кэлерову форму

$\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .$

При этом функция $\rho$ называется кэлеровым потенциалом формы $\omega$.

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки $p$ кэлерова многообразия $(K,\omega )$ существует окрестность $U\ni p$ и функция $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ такая, что

$\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho$.

При этом $\rho$ называется локальным Кэлеровым потенциалом формы $\omega$.

Примеры

• Комплексное евклидово пространство $\mathbb {C} ^{n}$ со стандартной эрмитовой формой.
• Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость $\omega$ тривиальна в вещественной размерности два.
• Комплексное проективное пространство $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ с метрикой Фубини — Штуди.
• Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
  • В частности, любое многообразие Штейна и любое проективное алгебраическое многообразие.
  • По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство.
• K3-поверхности
• Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.

См. также

• Почти комплексного многообразия

Литература

• P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Kähler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853.
• E. Kähler. Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642.
• R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9.
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• A. Moroianu. Lectures on Kähler geometry. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 69. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0.
• A. Weil. Introduction à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.