Кривая Персея

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор^[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов^[2].

Кривые Персея как сечения тора плоскостью

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом^[3]. Переоткрыты в XVII веке^[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат:

(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})

,

в ней $a$ — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом $r$ образован тор. При $c=0$ кривая состоит из двух окружностей радиуса $a$ с центрами $(\pm r,0)$ ; при $c=r+a$ кривая вырождается в точку — начало координат, если же $c>r+a$ — то кривая состоит из пустого множества точек^[3].

Если ввести новые параметры: $d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ , $e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2})$ и $f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$ , то возникает другая форма уравнения^[4]:

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f

.

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую^[5], симметричную относительно осей $x$ и $y$ .

Уравнение в полярных координатах:

(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})

,

или^[4]:

r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f

.

Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.

Примечания

↑ Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
↑ ¹ ² Стиллвелл, 2004, с. 43.
↑ ¹ ² Мактьютор, 1997.
↑ ¹ ² Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.
↑ Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Литература

Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Spiric Sections (неопр.). MacTutor History (1 января 1997). Дата обращения: 18 мая 2018. Архивировано из оригинала 26 октября 2019 года.
Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.

[_d5b726fe50caa29a-1] Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».

[_77acde26205ca349-2] ¹ ² Стиллвелл, 2004, с. 43.

[_5674d97a23e1ee24-3] ¹ ² Мактьютор, 1997.

[Ут.-4] ¹ ² Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.

[5] Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]