Конфигурация Мёбиуса — Кантора

Конфигурацией Мёбиуса — Кантора — конфигурация, состоящая из восьми точек и восьми прямых, такая, что на каждой прямой лежат по три точки и через каждую точку проходят по три прямые. Невозможно изобразить точки и прямые с этой моделью инцидентности на евклидовой плоскости, однако можно изобразить на комплексной проективной плоскости.

Конфигурация Мёбиуса-Кантора

Координаты

Август Мёбиус задал вопрос, существует ли пара многоугольников с p сторонами в каждом, обладающих тем свойством, что каждая вершина одного многоугольника лежит на прямой, проходящей через сторону другого, и наоборот. Если такая пара существует, вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию. Для p = 4 эта задача не имеет решения на евклидовой плоскости, но Кантор нашёл пару многоугольников такого типа в обобщённом варианте задачи, в котором вершины и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости. Таким образом, в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа. Решение Кантора для p = 4, пара взаимно вписанных четырёхугольника на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора.

Все, кроме одной, линии конфигурации можно изобразить прямыми, все одновременно — нельзя

Коксетер предложил следующие простые однородные координаты для восьми точек конфигурации Мёбиуса — Кантора:

(1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1),

(−1,ω²,1), (1,ω,0), (0,1,0), (0,−1,1),

где ω обозначает комплексный кубический корень из 1.

Абстрактная модель инциденций

Граф Мёбиуса — Кантора — граф Леви конфигурации Мёбиуса — Кантора. Вершины одного цвета представляют точки конфигурации, а вершины другого цвета представляют прямые

В более общем виде конфигурацию Мёбиуса — Кантора можно описать как систему восьми точек и восьми троек точек, в которой каждая точка входит ровно в три тройки. При дополнительных условиях (естественных для точек и прямых), а именно, что никакая пара точек не принадлежит более чем двум тройкам и что никакие две тройки не имеют в пересечении более двух точек, любые две системы этого типа эквиваленты с точностью до перестановки точек. Таким образом, конфигурация Мёбиуса — Кантора является единственной проективной конфигурацией типа (8₃8₃).

Граф Мёбиуса-Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по вершине для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.

Точки и прямые конфигурации Мёбиуса — Кантора можно описать как матроид, элементами которого являются точки конфигурации, а нетривиальные базы — это прямые конфигурации. В этом матроиде множество S точек является независимым в том и только в том случае, когда либо |S| ≤ 2, либо S состоит из трёх неколлинеарных точек. Данный матроид получил название матроида Маклейна, после того как Маклейн доказал, что такой матроид не может быть ориентирован. Это один из немногих известных минорно-минимальных неориентируемых матроидов.

Родственные конфигурации

Решение задачи Мёбиуса о взаимно вписанных многоугольниках для значений p больше четырёх также представляет интерес. В частности, одно из возможных решений для p = 5 — это конфигурация Дезарга из 10 точек и 10 прямых, допускающая реализацию в евклидовом пространстве.

Конфигурация Мёбиуса — это трёхмерный аналог конфигурации Мёбиуса — Кантора, состоящий из двух взаимно вписанных тетраэдров.

Конфигурацию Мёбиуса — Кантора можно расширить путём добавления четырёх прямых через четыре пары точек, которые до этого не были соединены прямыми, и добавления девятой точки на пересечении этих четырёх прямых. В результате получим конфигурацию Хессе, которая, как и конфигурация Мёбиуса — Кантора, может быть реализована в комплексных координатах, но не в вещественных. Удаление любой точки из конфигурации Хессе даёт копию конфигурации Мёбиуса — Кантора.

Литература

• H. S. M. Coxeter. Self-dual configurations and regular graphs // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1950. — Т. 56, вып. 5. — С. 413–455. — doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5..
• Igor V. Dolgachev. The Fano Conference. — Univ. Torino, Turin, 2004. — С. 423–462..
• S. Kantor. Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung // Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. — 1882. — Т. 84, вып. 1. — С. 915–932..
• MacLane, Saunders. Some Interpretations of Abstract Linear Dependence in Terms of Projective Geometry // American Journal of Mathematics. — 1936. — Т. 58, вып. 1. — С. 236–240. — doi:10.2307/2371070..
• A. F. Möbius. Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen? // J. Reine Angew. Math.. — 1828. — Т. 3. — С. 273–278.. В Gesammelte Werke (1886), том 1, стр. 439—446.
• Günter M. Ziegler. Some minimal non-orientable matroids of rank three // Geometriae Dedicata. — 1991. — Т. 38, вып. 3. — С. 365–371. — doi:10.1007/BF00181199..

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Möbius-Kantor Configuration (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.