Ковёр Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.

Ковёр (квадрат) Серпинского

Построение

Итеративный метод

6 итераций построения ковра Серпинского.

Квадрат $Q_{0}$ делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата $Q_{0}$ удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество $Q_{1}$, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

$Q_{0}\supset Q_{1}\supset \dots \supset Q_{n}\supset \dots ,$

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата $Q_{0}$.

2. Вероятностное пространство $(0;1)$ разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая начальная точка $P_{0}$, лежащая внутри квадрата $Q_{0}$.

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.

1. Генерируется случайное число $n\in (0;1)$.

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка $P_{i}$ с новыми координатами: $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}}$,

где: $x_{i-1},y_{i-1}$ — координаты предыдущей точки $P_{i-1}$; $x_{A},y_{A}$ — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
• Ковер Серпинского замкнут.
• Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность $\ln 8/\ln 3\approx 1{,}89$. В частности,
  • имеет нулевую меру Лебега.
• Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.

См. также

• Губка Менгера
• Треугольник Серпинского
• Ковёр Аполлония

Ссылки

• Медиафайлы по теме Ковёр Серпинского на Викискладе
• Variations on the Theme of Tremas II  (англ.)
• Печенье Серпинского  (англ.)
• Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld