Класс BPP

В теории алгоритмов классом сложности BPP (от англ. bounded-error, probabilistic, polynomial) называется класс предикатов, быстро (за полиномиальное время) вычислимых и дающих ответ с высокой вероятностью (причём, жертвуя временем, можно добиться сколь угодно высокой точности ответа). Задачи, решаемые вероятностными методами и лежащие в BPP, возникают на практике очень часто.

Формальное определение

Классом BPP называется класс предикатов P(x), вычислимых на вероятностных машинах Тьюринга (обычных машинах Тьюринга с лентой случайных чисел) за полиномиальное время с ошибкой не более ⅓. Это значит, что вычисляющая значение предиката вероятностная машина Тьюринга даст ответ за время, равное O(n^k), где n — длина x, причём если правильный ответ 1, то машина выдаёт 1 с вероятностью как минимум ⅔, и наоборот. Множество слов, на которых P(x) возвращает 1, называется языком, распознаваемым предикатом P(x).

Число ⅓ в определении выбрано произвольно: если вместо него выбрать любое число p, строго меньшее ½, то получится тот же самый класс. Это верно, поскольку если есть машина Тьюринга, распознающая язык с вероятностью ошибки p за время O(n^k), то точность можно сколь угодно хорошо улучшить за счёт относительно небольшого прироста времени. Если мы запустим машину n раз подряд, а в качестве результата возьмём результат большинства запусков, то вероятность ошибки упадёт до $\left(2{\sqrt {p(1-p)}}\right)^{n}$ , а время станет равным O(n^k+1). Здесь n запусков машины рассматриваются как схема Бернулли с n испытаниями и вероятностью успеха 1-p, а формула, выражающая ошибку, — вероятность неудачи не менее чем в половине случаев. Если теперь запустить машину n² раз подряд, то время возрастёт до O(n^k+2), а вероятность ошибки упадёт до $\left(2{\sqrt {p(1-p)}}\right)^{n^{2}}$ . Таким образом, с ростом показателя многочлена, оценивающего время, точность растёт экспоненциально, и можно достичь любого нужного значения.

Алгоритмы Монте-Карло

Вероятностный алгоритм ${\mathcal {A}}$ принимает язык $L$ по стандарту Монте-Карло, если вероятность ошибки алгоритма не превосходит $1/3$ . То есть, $\mathbb {P} ({\mathcal {A}}(x)=P(x))\geq 2/3$ , где $P(x)$ — предикат принадлежности слова $x$ языку $L$ . Таким образом, класс BPP образуют предикаты такие что для них существует полиномиальный вероятностный алгоритм, принимающий их язык по стандарту Монте-Карло. Такие алгоритмы также называют алгоритмами Монте-Карло.

Связь с алгоритмами Лас-Вегаса

Пусть ${\mathcal {B}}$ алгоритм Монте-Карло с временной сложностью $f(n)$ , где $n$ - длина входа. Также примем за $p(n)$ нижнюю границу вероятности того, что алгоритм Лас-Вегаса ${\mathcal {A}}$ даст корректный результат, а за ${\mathcal {C}}$ алгоритм с временной сложностью $g(n)$ , проверяющий результат ${\mathcal {A}}$ на достоверность. В таком случае существует алгоритм ${\mathcal {A}}$ с ожидаемой временной сложностью $(f(n)+g(n))/p(n)$ . Для доказательства представим, что ${\mathcal {A}}$ вызывает ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {C}}$ до тех пор, пока ${\mathcal {C}}$ не подтвердит корректность результата. Тогда время работы одной итерации такой процедуры составит $f(n)+g(n)$ . Вероятность же того, что будет повторено $k$ итераций равна $(1-p(n))^{k-1}\cdot p(n)$ , а значит, ожидаемое количество итераций равно $\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot (1-p(n))^{k-1}\cdot p(n)=1/p(n)$ , исходя из того, что $\sum _{k=1}^{\infty }k\cdot x^{k}=x/(1-x)^{2}$ .

Отношения с другими классами

Сам BPP замкнут относительно дополнения. Класс P включён в BPP, поскольку он даёт ответ за полиномиальное время с нулевой ошибкой. BPP включён в класс $\Sigma _{2}^{p}\cap \Pi _{2}^{p}$ полиномиальной иерархии и, как следствие, включён в PH и PSPACE. Кроме того, известно включение BPP в класс P/Poly.

Квантовым аналогом класса BPP (другими словами, расширением класса BPP на квантовые компьютеры) является класс BQP.

{\mbox{BPP}}\subseteq {\mbox{BQP}}

Другие свойства

До 2002 года одной из наиболее известных задач, лежащих в классе BPP, была задача распознавания простоты числа, для которой существовало несколько различных полиномиальных вероятностных алгоритмов, таких как тест Миллера-Рабина, но ни одного детерминированного. Однако, в 2002 году детерминированный полиномиальный алгоритм был найден индийскими математиками Agrawal, Kayan и Saxena, которые таким образом доказали, что задача распознавания простоты числа лежит в классе P. Предложенный ими алгоритм AKS (названный по первым буквам их фамилий) распознает простоту числа длины n за время O(n⁴).