Логика высказываний

Логика высказываний, пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»^[1]) или исчисление высказываний^[2], также логика нулевого порядка — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные^[3].

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений^[2].

Язык логики высказываний

Язык логики высказываний (пропозициональный язык^[4]) — формализованный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний^[1].

Синтаксис логики высказываний

Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний^[5]:

множество пропозициональных переменных (пропозициональных букв):

{\text{Var}}=\{p,q,r...\}

пропозициональные связки (логические союзы):

Символ	Значение
$\neg$	Знак отрицания
$\land$ или &	Знак конъюнкции («логическое И»)
$\vee$	Знак дизъюнкции («логическое ИЛИ»)
$\rightarrow$	Знак импликации

Вспомогательные символы: левая скобка (, правая скобка ).^[6]

Пропозициональные формулы

Пропозициональная формула — слово языка логики высказываний^[7], то есть конечная последовательность знаков алфавита, построенная по изложенным ниже правилам и образующая законченное выражение языка логики высказываний^[1].

Индуктивное определение множества формул $Fm$ логики высказываний:^[4]^[1]

Если $p\in {\text{Var}}$ , то $p\in {\text{Fm}}$ (всякая пропозициональная переменная есть формула);
если $A$ — формула, то $\neg A$ — тоже формула;
если $A$ и $B$ — произвольные формулы, то $(A\wedge B)$ , $(A\vee B)$ , $(A\to B)$ — тоже формулы.

Других формул в языке логики высказываний нет.

Форма Бэкуса — Наура, определяющая синтаксис логики высказываний, имеет запись:

$A::=p\;|\;(\neg A)\;|\;(A\land B)\;|\;(A\lor B)\;|\;(A\to B)$

Заглавные латинские буквы $A$ , $B$ и другие, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, то есть языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения $\neg A$ , $(A\to B)$ и другие — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение $(A\wedge B)$ есть схема, под которую подходят формулы $(p\wedge q)$ , $(p\wedge (r\vee s))$ и другие^[1].

Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с пп. 1—3 определения формулы, то она формула, если нет, то не формула^[1].

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, существует соглашение о скобках, по которому некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются по следующим правилам.

Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, $A\wedge B\wedge C$ ), то в скобки заключается сначала самая левая часть (то есть эти связки левоассоциативны).
Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: $\neg ,\wedge ,\vee$ и $\to$ (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись $A\vee B\wedge \neg C$ означает формулу $(A\vee (B\wedge (\neg C)))$ , а её длина равна 12.

Формализация и интерпретация

Как и любой другой формализованный язык, язык логики высказываний можно рассматривать как множество всех слов, построенных с использованием алфавита этого языка^[8]. Язык логики высказываний можно рассматривать как множество всевозможных пропозициональных формул^[4]. Предложения естественного языка могут быть переведены на символический язык логики высказываний, где они будут представлять собой формулы логики высказываний. Процесс перевода высказывания в формулу языка логики высказываний называется формализацией. Обратный процесс подстановки вместо пропозициональных переменных конкретных высказываний называется интерпретацией^[9].

Аксиомы и правила вывода формальной системы логики высказываний

Одним из возможных вариантов (гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

$A_{1}:A\rightarrow (B\rightarrow A)$ ;

$A_{2}:(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$ ;

$A_{3}:A\wedge B\rightarrow A$ ;

$A_{4}:A\wedge B\rightarrow B$ ;

$A_{5}:A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$ ;

$A_{6}:A\rightarrow (A\vee B)$ ;

$A_{7}:B\rightarrow (A\vee B)$ ;

$A_{8}:(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$ ;

$A_{9}:\neg A\rightarrow (A\rightarrow B)$ ;

$A_{10}:(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$ ;

$A_{11}:A\vee \neg A$ .

вместе с единственным правилом:

${\frac {A\quad (A\rightarrow B)}{B}}$ (Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

Таблицы истинности основных операций

Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок^[10].

Пусть $\mathbb {B}$ — множество всех истинностных значений $\{0,1\}$ , а $Var$ — множество пропозициональных переменных. Тогда интерпретацию (или модель) языка логики высказываний можно представить в виде отображения

M\colon {\text{Var}}\to \mathbb {B}

,

которое каждую пропозициональную переменную $p$ сопоставляет с истинностным значением $M(p)$ ^[10].

Оценка отрицания $\neg p$ задаётся таблицей:

$p$	$\neg p$
$0$	$1$
$1$	$0$

Значения двухместных логических связок $\rightarrow$ (импликация), $\vee$ (дизъюнкция) и $\wedge$ (конъюнкция) определяются так:

$p$	$q$	$p\rightarrow q$	$p\wedge q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации)^[11]. Далее перечислены несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

законы де Моргана:

\neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)

;

\neg (p\wedge q)\leftrightarrow (\neg p\vee \neg q)

;

закон контрапозиции:

(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)

;

законы поглощения:

p\vee (p\wedge q)\leftrightarrow p

;

p\wedge (p\vee q)\leftrightarrow p

;

законы дистрибутивности:

p\wedge (q\vee r)\leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)

;

p\vee (q\wedge r)\leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)

.

См. также

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Чупахин, Бродский, 1977, с. 203—205.
↑ ¹ ² Кондаков, 1971, статья «Исчисление высказываний».
↑ НФЭ, 2010.
↑ ¹ ² ³ Герасимов, 2011, с. 13.
↑ Войшвилло, Дегтярев, 2001, с. 91—94.
↑ Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М., Наука, 1979. — с. 24
↑ Эдельман, 1975, с. 130.
↑ Эдельман, 1975, с. 128.
↑ Игошин, 2008, с. 32.
↑ ¹ ² Герасимов, 2011, с. 17—19.
↑ Герасимов, 2011, с. 19.

Литература

Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. — М.: Наука, 1971. — 656 с.
Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
Чупахин И. Я., Бродский И. Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
Войшвилло Е. К., Дегтярев М. Г. Логика. — М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001. — 528 с. — ISBN 5-305-00001-7.
Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 978-5-7695-4593-1.
А. С. Карпенко. Логика высказываний // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.
Герасимов А. С. Курс математической логики и теории вычислимости. — СПб.: Издательство «ЛЕМА», 2011. — 284 с. — ISBN 978-5-98709-292-7.

[_1312820659fc7165-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Чупахин, Бродский, 1977, с. 203—205.

[_41b0bd0f0dbaeca0-2] ¹ ² Кондаков, 1971, статья «Исчисление высказываний».

[_75847a36b7650f70-3] НФЭ, 2010.

[_a31cb2b63ef048e4-4] ¹ ² ³ Герасимов, 2011, с. 13.

[_b3010e589e57f830-5] Войшвилло, Дегтярев, 2001, с. 91—94.

[Erch-6] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М., Наука, 1979. — с. 24

[_a8b4f1a4216d896c-7] Эдельман, 1975, с. 130.

[_a8b4f2a4216d8b37-8] Эдельман, 1975, с. 128.

[_a42eeb454b1ab539-9] Игошин, 2008, с. 32.

[_1d9844f87fcba5a0-10] ¹ ² Герасимов, 2011, с. 17—19.

[_a31cb2b63ef048ee-11] Герасимов, 2011, с. 19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

$p$	$q$	$p\rightarrow q$	$p\wedge q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p\rightarrow q$	$p\wedge q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

$p$	$q$	$p\rightarrow q$	$p\wedge q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$