Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции $f(x)$ при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен $P_{n}(x)$ степени $n$, значения которого в заданных точках $x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n}$ совпадают со значениями $y_{0},\;y_{1},\ldots ,y_{n}$ функции $f$ в этих точках. Многочлен $P_{n}(x)$ определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Основная статья: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Функция $f$ может быть интерполирована на отрезке $[x_{0},x_{n}]$ интерполяционным многочленом $P_{n}(x)$, записанным в форме Лагранжа:

$P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},$

при этом ошибка интерполирования функции $\ f(x)$ многочленом $\ P_{n}(x)$:

$|f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).$

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

$\|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.$

Интерполяционная формула Ньютона

Основная статья: Интерполяционные формулы Ньютона

Если точки $x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n}$ расположены на равных расстояниях $(x_{k}=x_{0}+kh)$, многочлен $P_{n}(x)$ можно записать так:

$P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.$

Здесь $x_{0}+th=x$, а $\Delta ^{k}$ — конечная разность порядка $k$. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения $f$, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от $x_{0}$. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений $x$, близких к $x_{0}$. При интерполировании функций для значений $x$, близких к $x_{k}$, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

$P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\right)$

где $C_{x}^{m}$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой $k$-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычислений.

Интерполяционная формула Стирлинга

Если использовать набор узлов $x_{k}=x_{0}+kh$, где $k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n$, то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу Стирлинга:

$P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}}\delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.$

Здесь $t={\frac {x-x_{0}}{h}}$, а $\delta ^{k}$ — центральная конечная разность порядка $k$.

Интерполяционная формула Бесселя

Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую вид

$P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)(t-{\frac {1}{2}})}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.$

Эта формула особенно удобна для интерполирования при $t={\frac {1}{2}}$, так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению $x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h$, то есть интерполяции «на середину».

См. также

• Интерполяция
• Интерполяционная формула Гаусса
• Эрмитова интерполяция
• Сплайн

Литература

• Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. — 2-е изд., перераб.. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений (рус.). — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1962. — Т. I.

Ссылки

• [bse.sci-lib.com/article055748.html Большая советская энциклопедия]