Инвариантная мера

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей.

Определение

В теории динамических систем, мера $\mu$ на пространстве $(X,\Sigma )$ называется инвариантной для измеримого отображения $f:(X,\Sigma )\to (X,\Sigma )$, если она совпадает со своим образом $f_{*}\mu$. В силу определения, это означает, что

$\forall A\in \Sigma \quad \mu (A)=\mu (f^{-1}(A)).\qquad (*)$

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение $f^{-1}$ также измеримо в смысле $(X,\Sigma )$, то эквивалентным является определение

$\forall A\in \Sigma \quad \mu (A)=\mu (f(A)).$

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности $S^{1}$ инвариантна относительно отображения удвоения $x\mapsto 2x\mod 1$, однако мера дуги $[0,1/3]$ отлична от меры её образа $[0,2/3]$.

Примеры

• Отображение $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$. Уравнение Перрона — Фробениуса для него имеет вид $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right]$. Подставляя это выражение в его же правую часть, получаем: $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1}{4}}\right)+p\left({\frac {x+2}{4}}\right)+p\left({\frac {x+3}{4}}\right)\right]$. Повторяя эту подстановку $n$ раз, получаем: $p(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+i}{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$. Эта мера устойчива, то есть произвольная непрерывная мера будет сходится к ней.
• Отображение $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$ или $x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$, $x\in [0,1](1)$. Существование устойчивой непрерывной инвариантной меры с $p(x)=\mathrm {const}$ доказывается аналогично.
• Логистическое отображение $x_{n+1}=1-2x_{n}^{2}$, $x\in [-1,1]$. Производим замену $x=-\cos \pi \theta$, $\theta \in [0,1]$, получаем $-\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n}$, $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2\theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$, что можно преобразовать к виду (1). Следовательно, для $\theta$ существует непрерывная постоянная плотность вероятности $p(\theta )=1$. Плотность вероятности для $x$ следует из неё: $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Литература

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.

См. также

• Теорема Крылова — Боголюбова
• Теорема Биркгофа — Хинчина
• Альтернатива Жиса — Маргулиса