Теплоёмкость идеального газа

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу $\delta Q$ , к изменению температуры $dT$ , которое при этом произошло $C={\frac {\delta Q}{dT}}$ ^[1].

Удельная и молярная теплоёмкость

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества ^[2]:

C_{M}={\frac {C}{\nu }}={\frac {1}{\nu }}{\frac {\delta Q}{\Delta T}},

где $\nu =m/M,$ $m$ — масса, $M$ — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)^[1].

Формула расчёта удельной теплоёмкости^[1]^[2]:

c={\frac {C_{M}}{M}}={\frac {\delta Q}{mdT}},

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть $dQ=0$ . Однако, объём, давление и температура меняются, то есть $dT\neq 0$ ^[3].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: $C={0 \over dT}=0$ .

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть $dT=0$ . При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла^[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: $C\to \pm \infty$

Изохорный

В изохорном процессе постоянен объём, то есть $\delta V=0$ и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид^[1]:

dU=\delta Q=\nu C_{V}dT.\qquad (1)

А для идеального газа

dU={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T.

Таким образом,

C_{V}={\frac {i}{2}}R,

где $i$ — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}},

где $\gamma$ — показатель адиабаты, $R$ — газовая постоянная газа.

Изобарный

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как $C_{p}$ . В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера $C_{p}=C_{v}+R$ ^[1]. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики^[4]:

\delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (2)

.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

\delta Q=C_{p}\mathrm {d} T,

Учитываем, что работа газа равна ^[4]:

\delta A=\mathrm {d} (pV)=nR\mathrm {d} T\qquad =p\mathrm {d} V\qquad +V\mathrm {d} p\qquad =p\mathrm {d} V\qquad ,(V\mathrm {d} p\qquad =0)(3)

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона для одного моля газа^[1]:

p\mathrm {d} V=R\mathrm {d} T.\qquad (4)

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

\delta A=R\mathrm {d} T\qquad (5)

Так как энергия одной молекулы равна $<e>={\frac {i}{2}}kT$ (6)^{[Комм 1]}^[5], то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой^[5]:

для общего случая $C_{p}={\frac {i+2}{2}}R,$
для одноатомных газов $C_{p}={\frac {5}{2}}R,$ то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами^{[Комм 2]} $C_{p}={\frac {7}{2}}R,$ то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
для многоатомных газов с нелинейными молекулами^{[Комм 2]} $C_{p}=4R,$ то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклоняться от теплоёмкости идеального газа. Так, при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры^[5].

См. также

↑ i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы
↑ ¹ ² При жёсткой связи между атомами, то есть колебательные степени свободы исключены из рассмотрения. Примером трёхатомной линейной молекулы служит цианистый водород HCN.

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Савельев, 2001, с. 26—30.
↑ ¹ ² Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 41.
↑ ¹ ² Савельев, 2001, с. 30—31.
↑ ¹ ² Савельев, 2001, с. 18-20.
↑ ¹ ² ³ Савельев, 2001, с. 61-63.

Литература

Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.

[5] — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы

[strong-7] ¹ ² При жёсткой связи между атомами, то есть колебательные степени свободы исключены из рассмотрения. Примером трёхатомной линейной молекулы служит цианистый водород HCN.

[_37e11aa9af6ce370-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Савельев, 2001, с. 26—30.

[_0f212c565d933c7a-2] ¹ ² Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 41.

[_2d6baadde86e5362-3] ¹ ² Савельев, 2001, с. 30—31.

[_6f95fa5cd66e8f25-4] ¹ ² Савельев, 2001, с. 18-20.

[_ec6167750fe82aca-6] ¹ ² ³ Савельев, 2001, с. 61-63.

[1]

[2]

[3]

[4]

[Комм 1]

[5]

[Комм 2]