Двойственность Пуанкаре

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

$H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).$

История

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (n − k)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

$b_{k}(M)=b_{n-k}(M).$

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций.

Современная формулировка

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, k — целое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий $H^{k}(M)$ в (n − k)-ю группу гомологий $H_{n-k}(M)$:

$D:H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)$.

Этот изоморфизм двойственности Пуанкаре определяется фундаментальным классом многообразия $[M]$:

$D(\alpha )=[M]\frown \alpha$,

где $\alpha \in H^{k}(M)$ — коцикл, $\frown$ обозначает $\frown$-умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для $k<0$ группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при $k>n$ на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спаривание

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через $\tau H_{k}(M)$ кручение группы $H_{k}(M)$, и $fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)$ её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

$fH_{k}(M)\otimes fH_{n-k}(M)\to \mathbb {Z}$

и

$\tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$

(Здесь $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп $H_{k}(M)$ и $H_{n-k}(M)$, коэффициент зацепления — между кручениями групп $H_{k}(M)$ и $H_{n-k-1}(M)$.

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

$fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-k}(M),\mathbb {Z} )$

и

$\tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре $H_{k}(M)\simeq H^{n-k}(M)$ и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства $fH^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-k}(M);\mathbb {Z} )$ и $\tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-k-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$. Таким образом, группы $fH_{k}(M)\simeq fH_{n-k}(M)$ являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично, $\tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)$.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989