Изолированная точка множества

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$ , и подмножество $A\subset X$ . Точка $x\in A$ называется изолированной точкой множества $A$ , если существует окрестность $U\in {\mathcal {T}}$ такая, что $U\cap A=\{x\}.$

Связанные определения

Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным

Свойства

Произвольная функция $f:A\subset X\to Y$ , где $Y$ — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке $x$ .

Примеры

Пусть $A=\mathbb {R}$ — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

Если $A=\{0\}\cup [1,2]$ , то точка $x=0$ является изолированной, а все остальные нет.
Если $A=\{0\}\cup \left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\equiv \left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots \right\},$ то $x=0$ не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
Множество натуральных чисел $\mathbb {N}$ дискретно.
Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. также