Знаки плюса и минуса
Знаки «плюс» и «минус» (+ и −) — математические символы, используемые для обозначения операций сложения и вычитания, а также положительных и отрицательных величин. Кроме того, они используются и для обозначения других понятий — например, в физике и химии знаками + и − обозначаются положительный и отрицательный заряд соответственно. Латинские термины plus и minus означают «более» и «менее» соответственно.
История
правитьЗнаки, обозначавшие сложение и вычитание, были ещё у древних египтян. Египетский иероглифический символ, внешне похожий на пару ног, в одном направлении обозначал сложение, в другом направлении — вычитание[1]
|
.
Французский математик XIV века Николай Орем в своих работах уже использовал знак плюс «+»[2], но эта практика не получила распространения среди его современников. Труды европейских математиков начала XV века, как правило, используют латинские буквы «P» и «M» в качестве знаков «плюс» и «минус» соответственно[3]. В трактате 1494 года Сумма арифметики[англ.] итальянский математик Лука Пачоли вводит символы P с чертой — p̄ для più, то есть «плюс» и M с чертой — m̄ для meno, то есть «минус»[4].
По-видимому, знаки плюса и минуса придумали представители немецкой математической школе «коссистов» (алгебраистов). Знак «+» является упрощением латинского «ЕТ» (сравнимо со знаком амперсанда «&»)[5], знак «−» может быть получен из знака тильды, который пишется над буквой «m», используемой для обозначения вычитания, или из варианта стенографической записи самой буквы «m»[6]. Немецкий математик Иоганн Видман в своём трактате 1489 года использует символы «−» и «+», объясняя их как minus и mer (современный нем. Mehr — «больше»): «was − ist, das ist minus, und das + ist das mer»[7][8].
Немецкий математик и теоретик музыки Генрих Грамматеус в своём трактате 1518 года также использует знаки «+» и «−» для обозначения сложения и вычитания[9].
Английский математик Роберт Рекорд, который ввёл в научный оборот знак равенства, также ввёл в англоязычную традицию знаки плюс и минус в 1557 году в своём труде The Whetstone of Witte[англ.]: «имеется два часто используемых знака, первый из которых пишется „+“ и означает „прибавить“; другой пишется „−“ и означает „вычесть“»[10].
Знак плюс
правитьЗнак плюс (+) является бинарным оператором, который указывает на операцию сложения, например, 31 + 5 = 36. Также может выступать унарным оператором, который оставляет свой операнд без изменений («+х» означает то же самое, что и «х»). Знак плюса может использоваться, когда необходимо подчеркнуть положительность числа в противоположность отрицательному (+5 против −5).
Знак плюс также может указывать на многие других операции. Многие алгебраические системы имеют операцию, которая называется или равнозначна сложению. Принято использовать знак плюса для коммутативных операций[11].
Кроме того, плюс может также означать:
- исключающее «ИЛИ» (обычно записывается ⊕): 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1
- логическое сложение (обычно записывается ∨): 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1.
Знак минус
правитьЗнак минус (−) имеет три основных применения в математике[12]:
- Оператор вычитания: бинарный оператор, указывающий на операцию вычитания, например 36 − 5 = 31;
- Как указатель отрицательных величин, например −5;
- Унарный оператор, который действует в качестве инструкции для замены операнда на противоположное число. Например, если х = 3, то −x = −3;
аналогично, −(−2) равно 2.
В большинстве англоязычных стран именование отрицательных чисел происходит с использованием слова «минус» (например, «минус пять»), но в современном американском английском это число произносится как «отрицательное пять» и эта форма рекомендуется как правильная; слово «минус» в данном контексте обычно используют люди, родившиеся до 1950 года[13]. Кроме того, некоторые учебники в США рекомендуют запись «−х» читать как «противоположность х» или «число, противоположное х», чтобы избежать впечатления, что −x непременно является отрицательным[14].
В языке программирования APL и некоторых графических калькуляторах (например, TI-81 и TI-82) для обозначения отрицательных чисел используется поднятый знак минус (например, 36 − 55 = −19), но такое использование является редкостью.
В математике и большинстве языков программирования, порядок действий устанавливает, что −52 = −25: унарный оператор (минус) имеет приоритет перед операциями умножения или деления. При этом в некоторых языках программирования и Microsoft Excel, в частности, унарные операторы имеют приоритет и в других случаях, например (−5)² = 25, но 0−5² = −25[15].
Кодировка
править
| Наименование | Обозначение | Unicode | ASCII | В URL | HTML |
|---|---|---|---|---|---|
| Плюс | + | U+002B | + |
%2B |
|
| Минус | − | U+2212 | %E2%88%92 |
− − −
| |
| Дефис-минус | - | U+002D | - |
%2D |
|
| Дефис[16] | ‐ | U+2010 | ‐ ‐
| ||
| Тире | — | U+2014 | —
| ||
| Широкий плюс[17] | ＋ | U+FF0B | %EF%BC%8B |
＋ ＋
| |
| Широкий дефис-минус[17] | － | U+FF0D | %EF%BC%8D |
－ －
|
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Karpinski, Louis C. Algebraical Developments Among the Egyptians and Babylonians (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1917. — Vol. 24, no. 6. — P. 257—265. — doi:10.2307/2973180.
- ↑ The birth of symbols — Zdena Lustigova, Faculty of Mathematics and Physics Charles University, Prague Архивировано 8 июля 2013 года.
- ↑ Stallings, Lynn. A brief history of algebraic notation // School Science and Mathematics. — 2000. — Май. Архивировано 6 января 2010 года.
- ↑ Sangster, Alan; Stoner, Greg; McCarthy, Patricia. The market for Luca Pacioli’s Summa Arithmetica (англ.) // Accounting Historians Journal[англ.] : journal. — 2008. — Vol. 35, no. 1. — P. 111—134 [p. 115]. Архивировано 26 января 2018 года.
- ↑ Cajori, Florian. Origin and meanings of the signs + and - // A History of Mathematical Notations, Vol. 1 (англ.). — The Open Court Company, Publishers, 1928.
- ↑ Wright, D. Franklin; New, Bill D. Intermediate Algebra. — 4th. — Thomson Learning[англ.], 2000. — С. 1.. — «The minus sign or bar, — , is thought to be derived from the habit of early scribes of using a bar to represent the letter m».
- ↑ "plus". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2nd ed. 1989.
- ↑ Деменок, 2018, с. 91.
- ↑ Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Дата обращения: 23 ноября 2015. Архивировано 2 марта 2013 года.
- ↑ Cajori, Florian (2007), A History of Mathematical Notations, Cosimo, p. 164, ISBN 9781602066847 Источник. Дата обращения: 2 октября 2017. Архивировано 11 июля 2019 года..
- ↑ Fraleigh, John B. A First Course in Abstract Algebra. — 4. — United States: Addison-Wesley, 1989. — С. 52. — ISBN 0-201-52821-5.
- ↑ Henri Picciotto. The Algebra Lab. — Creative Publications. — С. 9. — ISBN 978-0-88488-964-9.
- ↑ Schwartzman, Steven. The words of mathematics. — The Mathematical Association of America, 1994. — С. 136.
- ↑ Wheeler, Ruric E. Modern Mathematics. — 11. — 2001. — С. 171.
- ↑ Microsoft Office Excel Calculation operators and precedence. Дата обращения: 29 июля 2009. Архивировано 11 августа 2009 года.
- ↑ Используется редко, обычно его заменяют на дефис-минус.
- ↑ 1 2 Для использования в китайском письме, по ширине равен иероглифу.
Литература
править- Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- Деменок С.Л. Просто символ. [Символ как вещь и вещь как символ.]. — СПб.: Страта, 2018. — 260 с. — ISBN 978-5-6040399-3-9.
- Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.