Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки

Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки — одна из основных задач механики твёрдого тела.

Основные обозначения и уравнения движения

Общий случай

Рассмотрим вращение твёрдого тела ${\cal {B}}$ вокруг неподвижной точки $O$. Пусть $OX_{\alpha }X_{\beta }X_{\gamma }$ — абсолютная система отсчёта, оснащённая единичными векторами базиса ${\bf {e}}_{\alpha }$, ${\bf {e}}_{\beta }$,${\bf {e}}_{\gamma }$, а $Ox_{1}x_{2}x_{3}$ — подвижная система отсчёта, жёстко связанная с телом. Будем считать, что проекции векторов базиса ${\bf {e}}_{\alpha }$, ${\bf {e}}_{\beta }$, ${\bf {e}}_{\gamma }$ на оси подвижной системы отсчёта имеют вид ${\bf {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$, ${\bf {\beta }}=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})$, ${\bf {\gamma }}=(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})$, а вектор угловой скорости в проекциях на подвижные оси записывается как ${\bf {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})$. Если ${\bf {I}}$ — тензор инерции тела, также заданный в подвижных осях, ${\bf {Q}}={\bf {Q}}(t,{\bf {\omega }},{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})$ — действующий на тело момент сил, то уравнения движения тела в этих осях имеют вид

${d \over {dt}}{\bf {I\omega }}={\bf {I\omega }}\times \omega +{\bf {Q}}$.

Эти уравнения, задающие закон изменения момента количеств движения. называют уравнениями Эйлера. Кроме того, для описания движения выписывают уравнения Пуассона

${d \over {dt}}{\bf {\alpha }}={\bf {\alpha }}\times \omega$, ${d \over {dt}}{\bf {\beta }}={\bf {\beta }}\times \omega$, ${d \over {dt}}{\bf {\gamma }}={\bf {\gamma }}\times \omega$,

описывающие изменение в подвижных осях единичных векторов неподвижной системы отсчёта.

Уравнения Эйлера и уравнения Пуассона составляют замкнутую систему уравнений движения.

Случай потенциальных сил

В случае, когда внешние силы, действующие на тело, потенциальны с потенциалом $U=U(t,{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})$, момент сил, действующих на тело, имеет вид

${\bf {Q}}(t,{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})={\bf {\alpha }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\alpha }}}}+{\bf {\beta }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\beta }}}}+{\bf {\gamma }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\gamma }}}}$.

Законы сохранения

Интеграл площадей

Пусть ${\bf {e}}$ — фиксированный в абсолютном пространстве единичный вектор. Если силы, приложенные к телу таковы, что

$({\bf {Q}},{\bf {e}})\equiv 0$,

то сохраняется величина

${\cal {J}}_{\bf {e}}=({\bf {I\omega }},{\bf {e}})=p_{\bf {e}}\equiv 0$,

представляющая собой проекцию вектора момента количеств движения на направление, задаваемое вектором ${\bf {e}}$. Эту величину называют интегралом площадей.

Геометрические интегралы

Уравнения Пуассона всегда допускают шесть квадратичных интегралов

$({\bf {\alpha }},{\bf {\alpha }})=({\bf {\beta }},{\bf {\beta }})=({\bf {\gamma }},{\bf {\gamma }})=1$,

$({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }})=({\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})=({\bf {\gamma }},{\bf {\alpha }})=0$,

выражающих ортонормированность базиса абсолютной системы отсчёта. Эти интегралы называют геометрическими.

Интеграл энергии

Также в случае, когда силы, действующие на тело, потенциальны, и потенциал не зависит явно от времени: $U=U({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})$, уравнения движения допускают интеграл энергии

${\cal {J}}_{0}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {\omega }})+U({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})=h$

Случаи интегрируемости

Случай Эйлера

Если ${Q}\equiv 0$, то уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона и оказываются вполне интегрируемыми: они обладают интегралом энергии

${\cal {J}}_{0}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {\omega }})=h$

и интегралом

${\cal {J}}_{1}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {I\omega }})=k^{2}$

выражающим сохранение величины вектора момента количеств движения.

Впрочем, в этом случае интегрируемости, известном как случай Эйлера, сохраняется не только величина вектора момента количеств движения — сам вектор остаётся неизменным относительно абсолютной системы отсчёта.

Литература

• А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела. Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 378 с.