Длинная линия

Длинная линия — модель линии передачи, продольный размер (длина) которой превышает длину волны, распространяющейся в ней (либо сравнима с длиной волны), а поперечные размеры (например, расстояние между проводниками, образующими линию) значительно меньше длины волны.

С точки зрения теории электрических цепей длинная линия относится к четырёхполюсникам. Характерной особенностью длинной линии является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается подключенным ко входу линии генератором электромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна называется отражённой и возникает из-за частичного отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к выходу (противоположному генератору концу) линии. Всё разнообразие колебательных и волновых процессов, происходящих в длинной линии, определяется соотношениями амплитуд и фаз падающей и отраженной волн. Анализ процессов упрощается, если длинная линия является регулярной, то есть такой, у которой в продольном направлении неизменны поперечное сечение и электромагнитные свойства (ε_r, μ_r, σ) заполняющих сред.

Дифференциальные уравнения длинной линии

Двухпроводная длинная линия
Z_Н = R_Н + iX_Н — комплексное сопротивление нагрузки;
z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.

Основная статья: Телеграфные уравнения

Первичные параметры

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована её погонными параметрами:

• R₁ — погонное сопротивление металла проводов, Ом/м;
• G₁ — паразитная, параллельная(источник термина ) погонная(продольная, аддитивная) проводимость диэлектрика линии,1/Ом·м или См/м; ,- погонная вдоль линии, ортогонально токам утечки через диэлектрик, в противовес g[Cм·м] - проводимости погонной,приведённой к единице длины паразитного тока, текущего через диэлектрик линии(поперечно-погонной проводимости изолятора линии)!
• L₁ — погонная индуктивность Гн/м;
• C₁ — погонная ёмкость Ф/м;
• $Z_{1}=R_{1}+i\omega L_{1}$
• $Y_{1}=G_{1}+i\omega C_{1}$

Погонные сопротивление и проводимость G₁ зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Согласно закону Джоуля — Ленца, чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше погонное сопротивление металла R₁ и меньше погонная проводимость диэлектрика G₁. (Уменьшение активных потерь в диэлектрике означает увеличение его сопротивления, так как активные потери в диэлектрике — это токи утечки. Для модели используется обратная величина — погонная проводимость G₁.)

Погонные индуктивность L₁ и ёмкость C₁ определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

А $Z_{1}$ и $Y_{1}$ — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, зависящие от частоты $\omega$.

Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему.

Эквивалентная схема участка длинной линии

Эквивалентная схема участка длинной линии. Стрелками обозначены направления отсчета напряжения U и тока I в линии; dU и dI — приращения напряжения и тока в линии на элементе длины dz

Значения параметров схемы определяются соотношениями:

${\begin{cases}dR=R_{1}dz;\\dG=G_{1}dz;\\dL=L_{1}dz;\\dC=C_{1}dz;\\\end{cases}}$

(1)

Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:

${\begin{cases}dU=-I(dR+i\omega dL)\\dI=-U(dG+i\omega dC)\\\end{cases}}$

Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:

${\begin{cases}dU=-IZ_{1}dz\\dI=-UY_{1}dz\\\end{cases}}$

Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии. Эти уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии и называются телеграфными уравнениями длинной линии:

Телеграфные уравнения

${\begin{cases}{\frac {dU}{dz}}=-IZ_{1}\\{\frac {dI}{dz}}=-UY_{1}\\\end{cases}}$

(2)

Следствия

Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:

${\begin{cases}{\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}=-{\frac {dI}{dz}}Z_{1}\\{\frac {d^{2}I}{dz^{2}}}=-{\frac {dU}{dz}}Y_{1}\\\end{cases}}$

(3)

При этом учтем условие регулярности линии:

Условие регулярности линии

${\begin{cases}{\frac {dZ_{1}}{dz}}=0\\{\frac {dY_{1}}{dz}}=0\\\end{cases}}$

(4)

Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии её погонных параметров.

Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:

Однородные волновые уравнения длинной линии

${\begin{cases}{\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}U=0\\{\frac {d^{2}I}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}I=0\\\end{cases}}$,

(5)

где $\gamma ={\sqrt {Z_{1}Y_{1}}}$ — коэффициент распространения волны в линии.

Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:

${\begin{cases}U=B_{U}e^{\gamma z}+A_{U}e^{-\gamma z}\\I=B_{I}e^{\gamma z}+A_{I}e^{-\gamma z}\\\end{cases}}$,

(6)

где A_U, B_U и A_I, B_I — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.

Решения волновых уравнений в виде (6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой отраженную волну напряжения или тока, распространяющуюся от нагрузки к генератору, второе слагаемое — падающую волну, распространяющуюся от генератора к нагрузке. Таким образом, коэффициенты A_U, A_I представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты B_U, B_I — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

$|B_{U}|\leqslant |A_{U}|$

$|B_{I}|\leqslant |A_{I}|$

Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1). Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

${\begin{cases}U_{\Pi }=A_{U}e^{-\gamma z}\\I_{\Pi }=A_{I}e^{-\gamma z}\\\end{cases}}$,

(7)

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

$\gamma ={\sqrt {Z_{1}Y_{1}}}={\sqrt {(R_{1}+i\omega L_{1})(G_{1}+i\omega C_{1})}}=\alpha +i\beta$,

(8)

где α — коэффициент затухания волны в линии; β — коэффициент фазы. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:

${\begin{cases}U_{\Pi }=A_{U}e^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\I_{\Pi }=A_{I}e^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\\end{cases}}$.

(9)

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λ_Л фаза волны изменяется на 2π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λ_Л соотношением

$\beta ={\frac {2\pi }{\lambda _{\Lambda }}}$.

(10)

При этом фазовая скорость волны в линии V_Ф определяется через коэффициент фазы:

$V_{\Phi }={\frac {\omega }{\beta }}$.

(11)

Определим коэффициенты A и B, входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения U_Н и тока I_Н на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:

$A_{U}\gamma e^{-\gamma z}-B_{U}\gamma e^{\gamma z}=Z_{1}(A_{I}e^{-\gamma z}+B_{I}e^{\gamma z})$

Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:

${\begin{cases}A_{I}={\frac {A_{U}}{W}}\\B_{I}=-{\frac {B_{U}}{W}}\\\end{cases}}$,

(12)

где $W={\sqrt {\frac {Z_{1}}{Y_{1}}}}$ — волновое сопротивление линии.

Перепишем (6) с учётом (12):

${\begin{cases}U=A_{U}e^{-\gamma z}+B_{U}e^{\gamma z}\\I={\frac {A_{U}e^{-\gamma z}-B_{U}e^{\gamma z}}{W}}\\\end{cases}}$.

(13)

Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в начале линии z = 0:

${\begin{cases}U(z=0)=U_{H}\\I(z=0)=I_{H}\\\end{cases}}$.

Тогда из (13) при z = 0 найдем

${\begin{cases}A_{U}={\tfrac {1}{2}}(U_{H}+I_{H}W)\\B_{U}={\tfrac {1}{2}}(U_{H}-I_{H}W)\\\end{cases}}$,

(14)

Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:

${\begin{cases}U=U_{H}\operatorname {ch} (\gamma z)-I_{H}W\operatorname {sh} (\gamma z)\\I=I_{H}\operatorname {ch} (\gamma z)-{\frac {U_{H}}{W}}\operatorname {sh} (\gamma z)\\\end{cases}}$.

(15)

При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса.

Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.

Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует. Тогда в (6) следует положить B_U = 0, B_I = 0:

${\begin{cases}U=A_{U}e^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\I=A_{I}e^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\\end{cases}}$.

Распределение поля падающей волны

Рис.3. Эпюры напряжений падающей волны в длинной линии. а) амплитуда; б) фаза

На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φ_U напряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны φ_U = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:

$U=A_{U}e^{-i\beta z}+B_{U}e^{i\beta z}=A_{U}(e^{-i\beta z}+\Gamma e^{i\beta z})$,

(16)

где $\Gamma =B_{U}/A_{U}$ — комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Комплексный коэффициент отражения по напряжению

Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах: $0\leqslant |\Gamma |\leqslant 1$

• | Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и B_U = 0;
• | Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть $|A_{U}|=|B_{U}|$;

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.

Рис.4. Векторная диаграмма напряжений в линии с отраженной волной

Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:

$U_{max}=|A_{U}|+|B_{U}|$.

Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:

$U_{min}=|A_{U}|-|B_{U}|$.

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1, то есть амплитуда падающей и отраженной волн равны |B_U| = |A_U|, то в этом случае U_max = 2|A_U|, а U_min = 0.

Рис.5. Эпюры распределения напряжения вдоль линии с отражённой волной. а) Модуль напряжения; б) фаза напряжения.

Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Коэффициенты бегущей и стоячей волны

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — k_БВ и коэффициента стоячей волны k_СВ:

$k_{bv}={\frac {U_{min}}{U_{max}}}={\frac {|A_{U}|-|B_{U}|}{|A_{U}|+|B_{U}|}}={\frac {1-|\Gamma |}{1+|\Gamma |}}$	(17)
$k_{sv}={\frac {1}{k_{bv}}}$	(18)

Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:

$0\leqslant k_{bv}\leqslant 1$,

$1\leqslant k_{sv}\leqslant \infty$.

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители k_СВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Входное сопротивление длинной линии

Входное сопротивление линии является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:

$Z_{BX}=R_{BX}+iX_{BX}$
$Z_{BX}(z)={\frac {U(z)}{I(z)}}$	(19)

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно её продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии

Различают три режима работы линии:

1. режим бегущей волны;
2. режим стоячей волны;
3. режим смешанных волн.

Режим бегущей волны

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме B_U = 0, | Г | = 0, k_св = k_бв = 1.

Режим стоячей волны

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей B_U = A_U то есть энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, k_св = $\infty$, k_бв = 0.

Режим смешанных волн

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 < B_U < A_U то есть часть мощности падающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор. При этом 0  < | Г | < 1, 1 < k_св < $\infty$, 0 < k_бв < 1

Линия без потерь

В линии без потерь погонные параметры R₁ = 0 и G₁ = 0. Поэтому для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления W получим:

$\gamma ={\sqrt {Z_{1}Y_{1}}}={\sqrt {(R_{1}+i\omega L_{1})(G_{1}+i\omega C_{1})}}=i\omega {\sqrt {L_{1}C_{1}}}$; $\alpha =0;~~\beta =\omega {\sqrt {L_{1}C_{1}}};~~W={\sqrt {\frac {Z_{1}}{Y_{1}}}}={\sqrt {\frac {L_{1}}{C_{1}}}}$.

(20)

С учётом этого выражения для напряжения и тока (15) примут вид:

${\begin{matrix}U=U_{H}\cos(\beta z)&+&iI_{H}W\sin(\beta z)\\I=I_{H}\cos(\beta z)&+&i{\tfrac {U_{H}}{W}}\sin(\beta z)\end{matrix}}$

(21)

При выводе этих соотношений учтены особенности гиперболических функций.

Рассмотрим конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.

Разомкнутая линия

Рис.6. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в открытой (разомкнутой) линии

В этом случае ток, протекающий через нагрузку равен нулю (I_Н = 0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:

$U=U_{H}\cos(\beta z);\quad I=i{\frac {U_{H}}{W}}\sin(\beta z)$ $Z_{BX}={\frac {U}{I}}=-iW\operatorname {ctg} (\beta z)=iX_{BX}$ $\beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}$

(22)

На рис.6 эти зависимости проиллюстрированы графически. Из соотношений (22) и графиков следует:

• в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом λ_Л/2;
• входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым за исключением точек с координатами z = nλ_Л/4, n = 0,1,2,…;
• если длина разомкнутой линии меньше λ_Л/4, то такая линия эквивалентна ёмкости;
• разомкнутая на конце линия длиной λ_Л/4 эквивалентна последовательному резонансному на рассматриваемой частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление;
• линия, длина которой лежит в интервале от λ_Л/4 до λ_Л/2, эквивалентна индуктивности;
• разомкнутая на конце линия длиной λ_Л/2 эквивалентна параллельному резонансному контуру на рассматриваемой частоте и имеет бесконечно большое входное сопротивление.

Замкнутая линия

Рис.7. Эпюры напряжений, тока и входного сопротивления в короткозамкнутой линии

В этом случае напряжение на нагрузке равно нулю (U_Н = 0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:

$U=iI_{H}W\sin(\beta z);\quad I=I_{H}\cos(\beta z)$ $Z_{BX}={\frac {U}{I}}=iW\operatorname {tg} (\beta z)=iX_{BX}$

(23)

На рис.7 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Используя результаты предыдущего раздела, нетрудно самостоятельно сделать выводы о трансформирующих свойствах короткозамкнутой линии. Отметим лишь, что в замкнутой линии также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии, длиной меньше λ_Л/4 имеет индуктивный характер входного сопротивления, а при длине λ_Л/4 такая линия имеет бесконечно большое входное сопротивление на рабочей частоте.

Ёмкостная нагрузка

Рис.8. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в линии, нагруженной на ёмкость

Как следует из анализа работы разомкнутой линии, каждой ёмкости C на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок разомкнутой линии длиной меньше λ_Л/4. Ёмкость C имеет ёмкостное сопротивление $iX_{C}=-{\tfrac {i}{\omega C}}$. Приравняем величину этого сопротивления к входному сопротивлению разомкнутой линии длиной l < λ_Л/4:

$-{\tfrac {i}{\omega C}}=-iW\operatorname {ctg} (\beta l)$.

Отсюда находим длину линии, эквивалентную по входному сопротивлению ёмкости C:

$l={\tfrac {1}{\beta }}\operatorname {arctg} (\omega CW)$.

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления разомкнутой линии, восстанавливаем их для линии, работающей на ёмкость (рис.8). Из эпюр следует, что в линии, работающей на ёмкость, устанавливается режим стоячей волны.

При изменений ёмкости эпюры сдвигаются вдоль оси z. В частности, при увеличении ёмкости ёмкостное сопротивление уменьшается, напряжение на ёмкости падает и все эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам, соответствующим короткозамкнутой линии. При уменьшении ёмкости эпюры сдвигаются влево, приближаясь к эпюрам, соответствующим разомкнутой линии.

Индуктивная нагрузка

Рис.9. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в линии, работающей на индуктивность

Как следует из анализа работы замкнутой линии, каждой индуктивности L на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок замкнутой линии длиной меньше λ_Л/4. Индуктивность L имеет индуктивное сопротивление iX_Л = iωL. Приравняем это сопротивление к входному сопротивлению замкнутой линии длиной λ_Л/4:

$i\omega L=iW\operatorname {tg} (\beta l)$.

Отсюда находим длину линии l, эквивалентную по входному сопротивлению индуктивности L:

$l={\tfrac {1}{\beta }}\operatorname {arctg} (\omega {\tfrac {L}{W}})$.

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления замкнутой на конце линии, восстанавливаем их для линии, работающей на индуктивность (рис. 9). Из эпюр следует, что в линии, работающей на индуктивность, также устанавливается режим стоячей волны. Изменение индуктивности приводит к сдвигу эпюр вдоль оси z. Причем с увеличением L эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам холостого хода, а с уменьшением L — влево по оси z, стремясь к эпюрам короткого замыкания.

Активная нагрузка

В этом случае ток и напряжение на нагрузке R_Н связаны соотношением U_Н = I_НR_Н. Выражения для напряжения и тока в линии (21) принимают вид:

$U=U_{H}\cos(\beta z)+iU_{H}{\tfrac {W}{R_{H}}}\sin(\beta z)$ $I=I_{H}\cos(\beta z)+iI_{H}{\tfrac {R_{H}}{W}}\sin(\beta z)$

(23)

Рассмотрим работу такой линии на примере анализа напряжения. Найдем из (23) амплитуду напряжения в линии:

$|U|=U_{H}{\sqrt {\cos ^{2}(\beta z)+\left({\tfrac {W}{R_{H}}}\right)^{2}\sin ^{2}(\beta z)}}$

(24)

Отсюда следует, что можно выделить три случая:

• Сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению линии R_Н = W ;
• Сопротивление нагрузки больше волнового сопротивления линии R_Н > W;
• Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии R_Н < W.

В первом случае из (24) следует |U| = U_Н, то есть распределение амплитуды напряжения вдоль линии остается постоянным, равным амплитуде напряжения на нагрузке. Это соответствует режиму бегущей волны в линии.

См. также

• Измерительная линия
• Металлический изолятор
• Диаграмма Вольперта — Смита