Дифференциальная теория Галуа

Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.

Предпосылки и основная идея

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как

$f(x)=e^{-x^{2}},$

$f(x)={\frac {\sin x}{x}},$

$f(x)=x^{x},$

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции $f(x)=e^{-x^{2}}$ станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным.

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, ${\mathcal {D}}$. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Определения

Для любого дифференцируемого поля $F$ есть подполе

$\operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},$

которое называется полем констант $F$. Для двух дифференциальных полей $F$ и $G$ поле $G$ называется логарифмическим расширением $F$, если $G$ является простым трансцендентным расширением $F$ (то есть $G=F(t)$ для некоторого трансцендентного $t$), так что

${\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}$ для некоторого $s\in F$.

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе $t$ как логарифм некоторого $s$ из $F$, и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в $F$, не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений $F$. Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

${\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.$

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от $s$ из $F$. Наконец, $G$ называется элементарным дифференциальным расширением $F$, если имеется конечная цепочка подполей от $F$ до $G$, где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Примеры

Поле $\mathbb {C} (x)$ рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа $\mathbb {C}$.

Основная теорема

Предположим, что $F$ и $G$ — дифференциальные поля, для которых $\operatorname {Con} F=\operatorname {Con} G$, и $G$ является элементарным дифференциальным расширением $F$. Пусть $a\in F$, $y\in G$ и, кроме того, ${\mathcal {D}}y=a$ (то есть, $G$ содержит первообразную $a$). Тогда существуют $c_{1},\dots ,c_{n}\in \operatorname {Con} F$, $u_{1},\dots ,u_{n},v\in F$ такие, что

$a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\dots +c_{n}{\frac {{\mathcal {D}}u_{n}}{u_{n}}}+{\mathcal {D}}v.$

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.

Ссылки

• Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer

См. также

• Алгоритм Риша
• Элементарные функции