Делимая группа

Делимая группа — это группа $G$, такая что для любых $n\in \mathbb {N}$ и $g\in G$ уравнение

$x^{n}=g$

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как $nx=g$.

Группа $A$ называется $p$-делимой ($p$ — простое число), если для любого $a\in A$ разрешимо в $A$ уравнение $px=a$.

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры

• Группа $(\mathbb {Q} ,+)$ всех рациональных чисел;
• $p$-примарная квазициклическая группа $(\mathbb {Z} _{p^{\infty }},+)$, то есть группа, порожденная счетным набором элементов $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$, удовлетворяющих условию

$pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots$

Свойства делимых групп

• Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
• Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она $p$-делима при каждом простом $p$.
• Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
  • Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп ($\mathbb {Z}$-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
• Любая абелева группа $A$ разлагается в прямую сумму $A=D\oplus R$, где $D$ — делимая группа (она называется делимой частью группы $A$), а $R$ — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

Если $A$ — произвольная делимая абелева группа, то

$A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A)}\mathbb {Z} _{p^{\infty }}$.

Связанные определения

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература

• Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
• А. Г. Курош Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.