Двойственная кривая

Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.

Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.

Двойственная проективная плоскость

Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости $P$ можно рассмотреть двойственную проективную плоскость $P^{*}$ , в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости $P$ . В этом случае прямым плоскости $P^{*}$ будут соответствовать точки $P$ , а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.

Определение

Пусть дана гладкая кривая $C$ на проективной плоскости $P$ . Рассмотрим множество всех её касательных $C^{*}$ . Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости $P^{*}$ . Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в $P^{*}$ , которая называется двойственной кривой к $C$ ^[1].

Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством, кривой, двойственной к кривой в $P^{*}$ (то есть к однопараметрическому семейству прямых в $P$ ), будет кривая в $P$ . Эта кривая называется огибающей семейства прямых^[2].

Кривой, двойственной к эллипсу, будет эллипс. Каждой касательной к исходному эллипсу соответствует точка двойственного эллипса (отмеченная тем же цветом).

Пример

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением $(x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1$ (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями $\alpha x+\beta y=1$ , где $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ . Таким образом, двойственная к этому эллипсу кривая задаётся уравнением $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ в координатах $\alpha$ , $\beta$ .

Свойства

Двойственные кривые обладают следующими свойствами^[1]^[3]:

Кривая, двойственная к двойственной кривой, будет исходной кривой: $(C^{*})^{*}=C$ .
Если исходная кривая — кривая второго порядка, то двойственная ей кривая тоже будет второго порядка.
Каждой двойной касательной (то есть касательной к двум точкам) исходной кривой соответствует точка самопересечения двойственной кривой.
Каждой точке перегиба исходной кривой соответствует точка возврата двойственной кривой.

Связь с преобразованиями Лежандра

Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно, преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции^[1].

Параметризация

Для параметрически заданной кривой двойственная кривая определяется уравнениями^[4]:

X={\frac {y'}{yx'-xy'}}

Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}

Обобщения

Негладкие кривые

Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом, можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.

Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости. Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной^[1]. В частности, двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется двойственным многоугольником^[англ.].

Двойственная гиперповерхность

Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.

Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью^[1].

Примеры

Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением $x^{2}+y^{2}=1$ . Касательной к окружности в точке $(a,b)$ , где $a^{2}+b^{2}=1$ , является прямая $ax+by=1$ . Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара $(a,b)$ . Таким образом, двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами $(a,b)$ , где $a^{2}+b^{2}=1$ , то есть опять окружность.

В более общем случае, если в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ задана норма, то в сопряжённом пространстве ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ можно рассмотреть сопряжённую норму^[англ.]. Каждой точке $p$ пространства ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ соответствует гиперплоскость, заданная уравнением $px=1$ . Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы^[1].

Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы ( $L^{\infty }$ ). Норма, сопряжённая $L^{\infty }$ , является $L^{1}$ -нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в $L^{1}$ , то есть октаэдр.

Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.

См. также

Огибающая

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Владимир Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Litres, 2015-02-21. — С. 32-33. — 379 с. — ISBN 9785457718326.
↑ Сергей Львовский. Семейства прямых и гауссовы отображения. — Litres, 2015-06-27. — С. 5. — 39 с. — ISBN 9785457742048.
↑ Владимир Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Litres, 2015-02-21. — С. 120. — 342 с. — ISBN 9785457717886.
↑ Evgueni A. Tevelev. Projective Duality and Homogeneous Spaces. — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. — С. 2. — 272 с. — ISBN 9783540228981.

[Арнольд-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Владимир Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Litres, 2015-02-21. — С. 32-33. — 379 с. — ISBN 9785457718326.

[2] Сергей Львовский. Семейства прямых и гауссовы отображения. — Litres, 2015-06-27. — С. 5. — 39 с. — ISBN 9785457742048.

[3] Владимир Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Litres, 2015-02-21. — С. 120. — 342 с. — ISBN 9785457717886.

[4] Evgueni A. Tevelev. Projective Duality and Homogeneous Spaces. — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. — С. 2. — 272 с. — ISBN 9783540228981.

[1]

[2]

[3]

[4]