Двенадцатая проблема Гильберта
Двенадцатая проблема Ги́льберта или Jugendtraum (с нем. — «мечта детства») Кро́некера — одна из 23-х математических проблем, изложенная Давидом Гильбертом в 1900 году[1][2], формулирующаяся как распространение теоремы Кронекера – Вебера об абелевом расширении поля рациональных чисел на произвольное алгебраическое числовое поле. То есть, испрашиваются аналоги корней из единицы в виде комплексных чисел, которые являются конкретными значениями экспоненциальной функции; требование состоит в том, чтобы такие числа генерировали целое семейство дополнительных числовых полей, которые являются аналогами циклотомических полей и их подполей.
Классическая теория комплексного умножения, теперь часто именуемая как Jugendtraum Кронекера, производит это для случая любого мнимого квадратичного поля, используя модулярные функции и эллиптические функции, выбранные с определенной решёткой периодов, связанной с рассматриваемым полем. Горо Шимура распространил это на CM-поля. Общий случай остаётся открытым по состоянию на 2023 год. Леопольд Кронекер описал проблему комплексного умножения как свою «liebster Jugendtraum» или «самую дорогую мечту его юности».
История
правитьВ разделе 12 доклада «Математические проблемы» (1900) Гильберт придаёт Jugendtraum Кронекера «особо важное значение»[1][2], и указывает, что Кронекером доказана (1853) теорема (дополненная Вебером и Гильбертом в 1886 году) о том, что:
(...) каждое абелево числовое поле в области рациональных чисел вкладывается в поле корней из единицы. (...) Так как простейшей после области рациональных чисел является комплексная квадратичная числовая область, то возникает задача доказать и для этого случая теорему Кронекера. (...) Доказательство предположения Кронекера до сих пор не найдено. Тем не менее, я считаю, что оно может быть проведено без особых трудностей на основе теории комплексного умножения, развитой Вебером, и с учётом доказанных мною чисто арифметических теорем о классах полей. И, наконец, исключительное значение я придаю распространению теоремы Кронекера на тот случай, когда вместо области рациональных чисел или комплексной квадратичной области в основу кладётся произвольное алгебраическое числовое поле в качестве области рациональности. Я считаю эту проблему одной из наиболее глубоких и далеко ведущих проблем теории функций. (...) Что касается теоретико-функциональной части проблемы, то исследователю следует пойти по очень привлекательному пути той поразительной аналогии, какая замечается между теорией алгебраических функций от одной независимой переменной и теорией алгебраических чисел. (...) Как мы видим, в вышеприведённой задаче три основные ветви математики — именно, теория чисел, алгебра и теория функций — находятся во внутренней взаимной связи.
Примечания
править- ↑ 1 2 Александров, 1969.
- ↑ 1 2 Hilbert, 1900.
Литература
править- Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 9. — 240 с. — 10 700 экз.
- Hilbert, D. Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.) // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : magazin. — Göttingen, 1900. — S. 277—279.