Группа Шрёдингера

Группа Шрёдингера — это группа симметрии конфигурационного пространства уравнения Шрёдингера. Её образуют преобразования, отображающие физически эквивалентные точки конфигурационного пространства друг в друга. Группа Шрёдингера может быть определена из общих физических соображений. В неё входят: преобразование, осуществляющее перестановку электронов; преобразование, осуществляющее вращение системы координат; преобразование Галилея.

Для группы Шрёдингера уравнения Шрёдингера свободной частицы вида:

$i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{2}\Psi =0$

при преобразовании Галилея вида:

$q\rightarrow q'=Rq+Vt+a$

и

$t\rightarrow t'=t+b$

может быть получена алгебра Шрёдингера.

Алгебра Шрёдингера

Алгебра Шрёдингера это алгебра Ли группы Шрёдингера.

Она содержит алгебру Галилея с центральным расширением.

$[J_{i},J_{j}]=i\epsilon _{ijk}J_{k},$

$[J_{i},P_{j}]=i\epsilon _{ijk}P_{k},$

$[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},$

$[P_{i},P_{j}]=0,[K_{i},K_{j}]=0,[K_{i},P_{j}]=i\delta _{ij}M,$

$[H,J_{i}]=0,[H,P_{i}]=0,[H,K_{i}]=iP_{i},$

$[H_{i},H_{j}]=0.$

Тут

$J=L+S=\left[QP\right]+S=-i\left[P{\frac {\partial }{\partial P}}\right]+S$ — оператор полного момента количества движения, отвечающий вращениям $R$,

$P$ — оператор импульса, отвечающий смещению в пространстве на отрезок $a$,

$H$ — оператор энергии, отвечающий сдвигу начала отсчёта по временной шкале на $b$,

$K=iM{\frac {\partial }{\partial P}}+iP{\frac {\partial }{\partial H}}$ — оператор, отвечающий галилеевскому преобразованию $V$.

Центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шрёдингера при фазовых преобразованиях (и отвечает сохранению вероятности).

Алгебра Шрёдингера имеет две инвариантные величины:

$P^{2}-2MH=2ME$ — здесь $E$ можно рассматривать как внутреннюю энергию.

$\left(MJ-\left[KP\right]\right)^{2}=M^{2}S^{2}=M^{2}s(s+1)$ — здесь $S$ можно рассматривать как внутренний момент количества движения частицы.

Ещё есть два генератора, которые мы обозначим $D$ и $C$. У них следующие коммутационные соотношения:

$[H,C]=iD,[C,D]=-2iC,[H,D]=2iH,$

$[P_{i},D]=iP_{i},[K_{i},D]=-iK_{i},$

$[P_{i},C]=-iK_{i},[K_{i},C]=0,$

$[J_{i},C]=[J_{i},D]=0.$

Генераторы $H$, $C$ и $D$ образуют алгебру $sl(2,R)$.

Роль группы Шрёдингера в математической физике

Хотя группа Шрёдингера и определяется как группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера, она реализуется в некоторых нерелятивистских системах с взаимодействием (к примеру, холодные атомы в критической точке).

Группа Шрёдингера d пространственных размерностей может быть вложена в релятивистскую конформную группу в d+1 размерностях SO(2,d+2). Это вложение отвечает тому факту, что можно получить уравнение Шрёдингера из безмассового уравнения Клейна-Гордона с помощью компактификации Калуцы-Клейна.

Литература

• C. R. Hagen , Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377—388 (1972)
• Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
• D.T.Son, Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry, Phys. Rev. D 78, 046003 (2008)
• Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.
• Вигнер Е. Теория групп. — М.: ИЛ, 1961. — 444 с.

См. также

• Уравнение Шрёдингера
• Преобразования Галилея
• Группа Пуанкаре
• Теорема Баргмана