Цикл — граф, состоящий из единственного цикла, или, другими словами, некоторого числа вершин, соединённых замкнутой цепью. Граф-цикл с n вершинами обозначают как Cn. Число вершин в Cn равно числу рёбер и каждая вершина имеет степень 2, то есть любая вершина инцидентна ровно двум рёбрам.
| Цикл | |
|---|---|
 | |
| Вершин | n |
| Рёбер | n |
| Обхват | n |
| Автоморфизмы | 2n (Dn) |
| Хроматическое число | 3 если n нечётно и 2, если чётно |
| Хроматический индекс | 3 если n нечётно и 2, если чётно |
| Спектр | {2 cos(2 k π / n), k=1, ... ,n}[1] |
| Свойства |
2-регулярный
эйлеров |
 Медиафайлы на Викискладе | |
Терминология
правитьГраф-цикл имеет много синонимов. Используют термины простой граф-цикл и циклический граф, хотя последний термин употребляется не часто, поскольку он может относиться к графам, не являющимся ациклическими. Иногда употребляются термины цикл, многоугольник или n-угольник. Цикл с чётным числом вершин называют чётным циклом, а с нечётным числом вершин — нечётным циклом.
Свойства
правитьГраф-цикл:
- связен
- 2-регулярен
- эйлеров
- гамильтонов
- раскрашиваем в два цвета тогда и только тогда, когда он имеет чётное число вершин. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не имеет нечётных циклов (в качестве подграфов) (Кёниг, 1936).
- рёберно-2-раскрашиваем тогда и только тогда, когда он имеет чётное число вершин.
- Вершинно-раскрашиваем в 3 цвета и рёберно-3-раскрашиваем для любого числа вершин.
- с постоянным расстоянием единица
Вдобавок:
- Поскольку графы-циклы можно нарисовать в виде правильных многоугольников, симметрии цикла с n вершинами те же самые, что и у правильного многоугольника с n сторонами, то есть диэдрическая группа порядка 2n. В частности, существуют симметрии, переводящие любую вершину в любую другую вершину и любое ребро в любое другое ребро, так что n-цикл является симметричным графом.
Ориентированный граф-цикл
править
Ориентированным графом-циклом называется ориентированная версия графа-цикла, в котором все дуги направлены в одном и том же направлении.
В ориентированном графе множество дуг, которые содержат хотя бы одну дугу из каждого ориентированного цикла, называется разрывающим множеством дуг[англ.]. Подобным образом, множество вершин, содержащих по меньшей мере одну вершину из каждого ориентированного цикла, называется разрезающее циклы множество вершин.
Ориентированный граф-цикл имеет постоянную полустепень захода 1 и постоянную полустепень исхода 1.
Ориентированные графы-циклы являются графами Кэли для циклических групп (см., например, Тревизана [Trevisan]).
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Some simple graph spectra Архивная копия от 1 июля 2014 на Wayback Machine. win.tue.nl
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. Cycle Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (обсуждение как 2-регулярных графов-циклов, так и групповые концепции циклических диаграмм[англ.])
- Люк Тревизан[англ.], Characters and Expansion.
Для улучшения этой статьи желательно:
|