Гипотеза Сельберга о дзета-функции

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвуда. Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул гипотезу, что при фиксированном $\varepsilon$ с условием $0<\varepsilon <0.001$, достаточно большом $T$ и $H=T^{a+\varepsilon }$, $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$, промежуток $(T,T+H)$ содержит не менее $cH\ln T$ вещественных нулей дзета-функции Римана $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$. Сельберг доказал справедливость утверждения для случая $H\geq T^{1/2+\varepsilon }$.

Доказательство гипотезы

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при $T\to +\infty$.

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков $(T,T+H]$, $H=T^{\varepsilon }$, где $\varepsilon$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках $(T,T+H]$, длина $H$ которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени $T$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел $\varepsilon$, $\varepsilon _{1}$ с условием $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ почти все промежутки $(T,T+H]$ при $H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ содержат не менее $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ нулей функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.