Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ при значениях аргумента $\omega$, являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных $n=1,\;2,\;\ldots$. Назовем высотой полинома величину $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ и предположим, что она возрастает. Обозначим $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$. Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам $P$ степени не более $n$, высоты не более $H$ и с условием $P(\omega )\neq 0$. Обозначим $w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H)}}}{\ln H}}$$w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$. Пусть $\omega$ — трансцендентное число. Введем обозначения: $\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ — для вещественных чисел, $\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ — для комплексных чисел, $\Theta (\omega )=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega )$, где $n=1,\;2,\;\ldots$, $\eta (\omega )=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )$, где $n=2,\;3,\;\ldots$.

Гипотеза Малера утверждает, что $\Theta (\omega )=1$, $\eta (\omega )={\frac {1}{2}}$.

Доказательство

Доказательство есть в статье.

Литература

• Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. — Минск: Наука и техника, 1967. — 184 с.