Гипотеза Ловаса о гамильтоновом цикле

Гипотеза Ловаса о гамильтоновом цикле — классическая гипотеза в теории графов.

Гамильтонов путь в графе Кэли симметрической группы.

Сформулирована в четвёртом томе «Искусства программирования», но, скорее всего, была известна гораздо раньше.

Формулировка

Каждый конечный связный вершинно-транзитивный граф содержит гамильтонов путь.

Вариации и обобщения

• Любой конечный связный вершинно-транзитивный граф, кроме пяти исключений, содержит гамильтонов цикл; исключения составляют:
  • Полный граф $K_{2}$,
  • Граф Петерсена и граф, полученный из него заменой каждой вершины на треугольник,
  • Граф Коксетера и граф, полученный из него заменой каждой вершины на треугольник.

• 
  Полный граф $K_{2}$.
• 
  Граф Петерсена.
• 
  Граф Коксетера.

Ни одно из пяти исключений не является графом Кэли. Это наблюдение приводит к более слабой версии гипотезы

• Любой граф Кэли конечной группы содержит гамильтонов цикл.

Для ориентированных графов Кэли гипотеза не верна.

Частные случаи

• Известно, что ориентированный граф Кэли абелевой группы имеет гамильтонов путь.
  • С другой стороны, циклические группы, порядок которых не является степенью простого числа, допускают ориентированный граф Кэли без гамильтонова цикла.
• В 1986 году Д. Витте доказал, что гипотеза верна для графов Кэли p-групп.
• Вопрос остаётся открытым для диэдральных групп.

Известно, что для симметрической группы гипотеза верна для следующих наборов образующих:

• $a=(1,2,\dots ,n),b=(1,2)$ (длинный цикл и транспозиция).
• $s_{1}=(1,2),s_{2}=(2,3),\dots ,s_{n-1}=(n-1,n)$ (образующие Кокстера). В этом случае гамильтонов цикл строится алгоритмом Штайнхаусa — Джонсона — Троттера.
• $a=(1,2),b=(1,2)(3,4)\cdots ,c=(2,3)(4,5)\cdots$.