Гамма-функция

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

График гамма-функции действительной переменной

Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента и расширения понятия производной на дробные значения.

Определения

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0$

Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{z-1}\,dx$

через замену переменной $x=e^{-t}$, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$.

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ и замены переменной $x=y^{2}$:

$\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z}\,dy$.

Интеграл в этой формуле сходится при $\mathrm {Re} (z)>-1$, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента $z>0$ подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при $y=0$, и если доопределить её в этой точке значением $0$, она станет непрерывной на всём отрезке $[0;1]$. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел, называемое интегралом Римана — Ханкеля:

$\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z}$.

Здесь контур $L$ — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку $t=0$ против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.

Определение по Гауссу верно для всех комплексных $z$, за исключением 0 и отрицательных целых чисел:

$\Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$.

Определение по Эйлеру

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$.

Определение по Вейерштрассу:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$.

где $\gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$. Именно этой функцией (а не $\Gamma$-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

Свойства

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Для любого целого неотрицательного n верно:

$\Gamma (n+1)=n!$.

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение:

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$,

которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию (Теорема Бора — Моллерупа).

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

$\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}$.

Также справедлива и формула умножения Гаусса:

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz)$.

Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)$.

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. $\Gamma (z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$.

Гамма-функция имеет полюс первого порядка в $z=-n$ для любого натурального $n$ и нуля; вычет в этой точке задаётся так:

$\operatorname {\mathrm {Res} } _{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$.

Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})$.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и $\Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)$, где $\psi (x)$, часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

$\mathrm {B} (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

По теореме Бора — Моллерупа гамма-функция является единственной функцией, обладающей в области $x>1$ одновременно тремя свойствами:

• $f(1)=1$,
• $f(x+1)=xf(x)$ для $x>0$,
• $f$ является логарифмически выпуклой функцией (то есть $\log f$ — выпукла).

Логарифм гамма-функции

По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:

$\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{-xz}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0$

и

$\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,\operatorname {arctg} (x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0$

данные Жаком Бине в 1839 году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции). Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине:

$\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[z-1-{\frac {1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}}}\right]{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0$

а Лерх показывает, что все интегралы вида:

$\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,e^{2\pi x}\!\cos \varphi -1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos \varphi +1}}\operatorname {arctg} {\frac {u}{x}}\;dx\,,\qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u$

также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:

$\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\!\right\}+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -\,2\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\operatorname {arctg} {\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{2\pi x}+1}}\,dx,\qquad \operatorname {Re} {z}>{\frac {1}{2}}$

(см. упр. 40 в)

Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,

$\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\,,\qquad 0<\operatorname {Re} z<1$

(см. упр. 2, 29-h, 30 в)

Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе $z=k/n$, где $k$ и $n$ целые положительные числа, такие, что $k$ не превосходит $n$, справедливо следующее представление:

$\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+$

$+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}$

(см. приложение C, а также упр. 60 и 58)

Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в.

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции

$\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi$

Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид

$\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1$

Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин).

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга

$\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2}}$

В его стандартной вариации

$\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)$

где коэффициенты $B_{2n}$ означают числа Бернулли.

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом

$\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right]$.

Частные значения

Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности

$\Gamma (1)=0!=1$

$\Gamma (2)=1!=1$

$\Gamma (3)=2!=2$

$\Gamma (4)=3!=6$

$\Gamma (5)=4!=24$

$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$.

$\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$.

$\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}$.

$\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}$.

$\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi }}$.

$\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}$.

$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]$

$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]$

Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде.

Существуют следующие представления в незамкнутом виде для $\Gamma (1/4)$:

$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\mathrm {AGM} ({\sqrt {2}},1)}}}$

$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\mathrm {th} \left({\frac {\pi k}{2}}\right)$

$\Gamma ({\tfrac {1}{4}})=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}$

где AGM — функция арифметико-геометрического среднего, G — постоянная Каталана и A — постоянная Глейшера — Кинкелина.

Обобщения

В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:

$\Gamma (z,a)=\int \limits _{\mathrm {a} }^{\infty }\!{t^{z-1}e^{-t}\,dt}$

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

$\gamma (z,a)=\int \limits _{0}^{\mathrm {a} }\!{t^{z-1}e^{-t}\,dt}$.

Иногда неполную гамма-функцию определяют как:

$I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int \limits _{0}^{\mathrm {a} }\!{t^{z-1}e^{-t}\,dt}$.

Вычисление интегралов

Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где $a,\alpha ,\beta$ — постоянные параметры

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)$

Доказательство

После вынесения параметра:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta }x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\beta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta }x\right)$

Внесения дифференциала:

$a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }$

И замены переменной:

${\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)$

■

В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов Гауссова типа:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)$

и эйлеровых интегралов:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha +1\right)$

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• K-функция
• G-функция Барнса
• Бета-функция
• Гамма-распределение
• Неполная гамма-функция

Литература

• В. Я. Арсенин. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
• Артин Э. Введение в теорию гамма-функций. — 2-е. — Либроком, 2009.
• М. А. Евграфов. Аналитические функции, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
• М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
• А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
• Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
• А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
• Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. (Редактор Диткин В. А.). Москва, Изд-во ВЦ АН СССР, 1963. 236 с.
  • Л. Н. Большев. В. И. Пагурова. Таблицы неполной гамма-функции. Рецензия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:5 (1964), 977—978
• R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
• M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
• N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.