Время Ляпунова

Время Ляпунова — время, за которое система приводится к полному хаосу. Определяется как число, обратное к наибольшей из экспонент Ляпунова системы^[1]. Названо в честь математика А. М. Ляпунова.

Применение

Время Ляпунова отражает пределы предсказуемости системы. Оно определено как время, за которое расстояние между соседними траекториями системы возрастает в e раз. Иногда говорят о возрастании расстояния между траекториями в 2 или в 10 раз, имея при этом в виду потерю одного двоичного или десятичного разряда^[2].

Понятие применяется во многих приложениях теории динамических систем, в особенности в небесной механике, где оно имеет большое значение для вопроса об устойчивости Солнечной системы. Эмпирические оценки времени Ляпунова часто рассматриваются как подверженные неопределённости^[3]^[4].

Согласно И. Пригожину, «время Ляпунова позволяет нам ввести внутренний „масштаб времени“ для хаотических систем, то есть интервал времени, в течение которого выражение „две одинаковые“ системы, соответствующие одним и тем же начальным условиям, сохраняет смысл (допускает в определённой мере предсказание). После достаточно продолжительного по сравнению с временем Ляпунова периода эволюции, память о начальном состоянии системы полностью утрачивается: задание начального состояния не позволяет более определить траекторию»^[5].

Примеры

Некоторые примеры оценок времени Ляпунова^[2]:

Система	Время Ляпунова
Солнечная система	5 млн лет
Орбита Плутона	20 млн лет
Наклон оси вращения Марса	1-5 млн лет
орбита (36) Аталанта	4 тыс. лет
Обращение Гипериона вокруг своей оси	36 дней
Химические хаотические осцилляции	5,4 минуты
Гидродинамические хаотические осцилляции	2 секунды
1 см³ аргона при комнатной температуре	3,7×10⁻¹¹ секунды
1 см³ аргона в тройной точке	3,7×10⁻¹⁶ секунды

Примечания

↑ Boris P. Bezruchko, Dmitry A. Smirnov, Extracting Knowledge From Time Series: An Introduction to Nonlinear Empirical Modeling, Springer, 2010, pp. 56—57
↑ ¹ ² Pierre Gaspard, Chaos, Scattering and Statistical Mechanics, Cambridge University Press, 2005. p. 7
↑ G. Tancredi, A. Sánchez, F. ROIG. A comparison between methods to compute Lyapunov Exponents. The Astronomical Journal, 121:1171-1179, 2001 February
↑ E. Gerlach, On the Numerical Computability of Asteroidal Lyapunov Times, http://arxiv.org/abs/0901.4871 Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine
↑ Пригожин И. Время, хаос и законы природы : [арх. 7 ноября 2017] // msu.ru. — 1995.

[1] Boris P. Bezruchko, Dmitry A. Smirnov, Extracting Knowledge From Time Series: An Introduction to Nonlinear Empirical Modeling, Springer, 2010, pp. 56—57

[gaspard-2] ¹ ² Pierre Gaspard, Chaos, Scattering and Statistical Mechanics, Cambridge University Press, 2005. p. 7

[3] G. Tancredi, A. Sánchez, F. ROIG. A comparison between methods to compute Lyapunov Exponents. The Astronomical Journal, 121:1171-1179, 2001 February

[4] E. Gerlach, On the Numerical Computability of Asteroidal Lyapunov Times, http://arxiv.org/abs/0901.4871 Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine

[5] Пригожин И. Время, хаос и законы природы : [арх. 7 ноября 2017] // msu.ru. — 1995.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]