Весовая функция

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции

Общие определения

Дискретная весовая функция $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$ — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений $A$ , которое обычно конечно или счётно. Весовая функция $w(a):=1$ соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция $f:A\to {\mathbb {R} }$ определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма $f$ на $A$ определяется как

\sum _{a\in A}f(a)

;

в отличие от взвешенной суммы $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$ , определяемой как

\sum _{a\in A}f(a)w(a)

.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

\sum _{a\in B}w(a).

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

{\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)

в виде взвешенного среднего арифметического

{\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда ^[1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия $J$ частные показатели качества $x_{i}$ нормируются (диапазон изменения $[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$ каждого из них приводится к отрезку $[0,1]$ ): $x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$ , а интегральный критерий рассчитывается как $J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$ , чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов $w_{1},\ldots ,w_{n}$ .

Статистика

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения $f$ , измеренного как $f_{i}$ несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями $\sigma _{i}^{2}$ , наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами $w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$ : результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения $\sigma ^{2}=1/\sum w_{i}$ . В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями $w_{i}$ .

Механика

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется $n$ объектов с весами $w_{1},\ldots ,w_{n}$ (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}

,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат ${\boldsymbol {x}}_{i}$ .

Непрерывные весовые функции

В случае непрерывных величин вес — положительная мера $w(x)dx$ в некотором домене $\Omega$ , который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства ${\mathbb {R} }^{n}$ на отрезке $[a,b]$ . Здесь $dx$ — мера Лебега, а $w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция $w(x)$ часто употребляется в понятии плотности.