Быстрый обратный квадратный корень

Бы́стрый обра́тный квадра́тный ко́рень (также быстрый InvSqrt() или 0x5F3759DF по используемой «магической» константе) — это приближённый алгоритм вычисления обратного квадратного корня $y={\frac {1}{\sqrt {x}}}$ для положительных 32-битных чисел с плавающей запятой. Алгоритм использует целочисленные операции «вычесть» и «битовый сдвиг», а также дробные «вычесть» и «умножить» — без медленных операций «разделить» и «квадратный корень». Несмотря на «хакерство» на битовом уровне, приближение монотонно и непрерывно: близкие аргументы дают близкий результат. Точности (менее 0,2 % в меньшую сторону и никогда — в большую)^[1]^[2] не хватает для настоящих численных расчётов и даже для нормирования матриц поворота в трёхмерной графике^[3], однако вполне достаточно для маловажных эффектов вроде освещения и теней.

Алгоритм

Алгоритм принимает 32-битное число с плавающей запятой (одинарной точности в формате IEEE 754) в качестве исходных данных и производит над ним следующие операции:

Трактуя 32-битное дробное число как целое, провести операцию y₀ = 5F3759DF₁₆ − (x >> 1), где >> — битовый сдвиг вправо. Результат снова трактуется как 32-битное дробное число.
Для уточнения можно провести одну итерацию метода Ньютона: y₁ = y₀(1,5 − 0,5xy₀²).

Реализация из Quake III^[4]:

float Q_rsqrt( float number )
{
	long i;
	float x2, y;
	const float threehalfs = 1.5F;

	x2 = number * 0.5F;
	y  = number;
	i  = * ( long * ) &y;                       // страшное хакерство на битовом уровне
	i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // что за чёрт?
	y  = * ( float * ) &i;
	y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1-я итерация
//	y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2-я итерация, можно убрать

	return y;
}

Эта реализация считает, что float по длине равен long, и использует для преобразования указатели (может ошибочно сработать оптимизация «если изменился float, ни один long не менялся»; на GCC при компиляции в «выпуск» срабатывает предупреждение). По комментариям видно, что Джон Кармак, выкладывая игру в открытый доступ, не понял, что там делается.

Корректная по меркам современного Си реализация, с учётом возможных оптимизаций и кроссплатформенности:

#include <stdint.h>

float Q_rsqrt( float number )
{	
	const float x2 = number * 0.5F;
	const float threehalfs = 1.5F;

	union {
		float f;
		uint32_t i;
	} conv = {number}; // такая инициализация присвоит поле «f»
	conv.i = 0x5f3759df - ( conv.i >> 1 );
	conv.f *= threehalfs - x2 * conv.f * conv.f;
	return conv.f;
}

На Си++20 можно использовать новую функцию bit_cast.

#include <bit>
#include <limits>
#include <cstdint>

constexpr float Q_rsqrt(float number) noexcept
{
	static_assert(std::numeric_limits<float>::is_iec559); // Проверка совместимости целевой машины

	float const y = std::bit_cast<float>(
		0x5f3759df - (std::bit_cast<std::uint32_t>(number) >> 1));
	return y * (1.5f - (number * 0.5f * y * y));
}

GCC и Clang (-std=c++20 -mx32 -O3) дают одинаковый машинный код для всех трёх вариантов и близкий — друг относительно друга. У MSVC (/std:c++20 /O2) третья функция незначительно отличается от первых двух.

История

Саму идею приближения дробного числа целым для вычисления ${\sqrt {x}}$ придумали Уильям Кэхэн и К. Ын в 1986^[5]. До этой идеи добрались Грег Уолш, Клив Моулер и Гэри Таролли, работавшие тогда в Ardent Computer^[6]^[7]. Грегу Уолшу и приписывается знаменитая константа 0x5F3759DF.

Таролли, перешедший в 3dfx, принёс алгоритм туда, где он и применялся для расчёта углов падения и отражения света в трёхмерной графике. Джим Блинн, специалист по 3D-графике, переизобрёл метод в 1997 году с более простой константой 1,5^[8]. Более сложный табличный метод, который считает до 4 знаков (0,01 %), найден при дизассемблировании игры Interstate ’76 (1997)^[9].

Однако данный метод не появлялся на общедоступных форумах, таких как Usenet, до 2002—2003-х годов. Метод обнаружили в Quake III: Arena, опубликованном в 2005, и приписали авторство Джону Кармаку. Тот предположил, что его в id Software принёс Майкл Абраш, специалист по графике, или Терье Матисен, специалист по ассемблеру; другие ссылались на Брайана Хука, выходца из 3dfx^[10]. Изучение вопроса показало, что код имел более глубокие корни как в аппаратной, так и в программной сферах компьютерной графики. Исправления и изменения производились как Silicon Graphics, так и 3dfx Interactive, при этом самая ранняя известная версия написана Гэри Таролли для SGI Indigo.

С выходом в свет в 1998 году набора инструкций 3DNow! в процессорах фирмы AMD появилась ассемблерная инструкция PFRSQRT^[11] для быстрого приближенного вычисления обратного квадратного корня. Версия для double бессмысленна — точность вычислений не увеличится^[2] — потому её не добавили. В 2000 году в SSE2 добавили функцию RSQRTSS^[12] более точную, чем данный алгоритм (0,04 % против 0,2 %). Потому данный метод больше не имеет смысла в современных компьютерах^[13] (все x64-процессоры поддерживают SSE2, и все настольные видеоускорители поддерживают Transform & Lighting), зато важен как дань истории и в более ограниченных машинах^[14].

Анализ и погрешность

Преобразование «дробное ↔ целое»

Битовое представление 4-байтового дробного числа в формате IEEE 754 выглядит так:

Знак
	Порядок								Мантисса
0	0	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	$=(1+2^{-2})\cdot 2^{-3}=0{,}15625$
31				24				23				16				15				8				7				0

Имеем дело только с положительными числами (знаковый бит равен нулю), не денормализованными, не ∞ и не NaN. Такие числа в стандартном виде записываются как 1,mmmm₂·2^e. Часть 1,mmmm называется мантиссой, e — порядком. Головную единицу не хранят (неявная единица), так что величину 0,mmmm назовём явной частью мантиссы. Кроме того, у машинных дробных чисел смещённый порядок: 2⁰ записывается как 011.1111.1₂^[a].

На положительных числах биекция «дробное ↔ целое» (ниже обозначенная как $I_{x}$ ) непрерывна как кусочно-линейная функция и монотонна. Отсюда сразу же можно заявить, что быстрый обратный корень, как комбинация непрерывных функций, непрерывен. А первая его часть — сдвиг-вычитание — к тому же монотонна и кусочно-линейна. Биекция сложна, но почти «бесплатна»: в зависимости от архитектуры процессора и соглашений вызова, нужно или ничего не делать, или переместить число из дробного регистра в целочисленный.

В примере выше целочисленное представление равняется 0x3E20.0000, и оно раскладывается так: знаковое поле 0, смещённый порядок^[a] 011.1110.0₂=124, несмещённый 124−127=−3, мантисса (вместе с неявной единицей) 1,01₂=1,25, и дробное значение 1,25·2⁻³=0,15625.

Обозначим $m_{x}\in [0,1)$ явную часть мантиссы числа $x$ , $e_{x}\in \mathbb {Z}$ — несмещённый порядок, $L=2^{23}$ — разрядность мантиссы, $B=127$ — смещение порядка. Число^[b] $x\equiv 2^{e_{x}}(1+m_{x})$ будет иметь целочисленное представление $I_{x}\equiv L(e_{x}+B+m_{x})$ . Можно выписать и обратное преобразование: $e_{x}=\left\lfloor {\tfrac {I_{x}}{L}}-B\right\rfloor$ , $m_{x}=\left\{{\tfrac {I_{x}}{L}}\right\}$ , ведь первое целое, а второе от 0 до 1.

Первое приближение

\log _{2}(1+m_{x})\approx m_{x}+\sigma

. Приведены крайние случаи — σ = 0 и 0,086.

Поскольку $\log _{2}1=0$ и $\log _{2}2=1$ , нелинейную функцию «логарифм» можно приблизить линейной $\log _{2}(1+m_{x})\approx m_{x}+\sigma$ , где $\sigma$ — параметр, используемый для настройки точности приближения. Этот параметр варьируется от 0 (формула точна при $m_{x}=0$ и $1$ ) до 0,086 (точна в одной точке, $m_{x}=0{,}443$ ).

Аргумент $x$ , записанный в линейно-логарифмической разрядной сетке компьютерных дробных, можно^[4]^[15] приблизить логарифмической сеткой как $\log _{2}x\equiv e_{x}+\log _{2}(1+m_{x})\approx e_{x}+m_{x}+\sigma$ . Перегруппируем $e_{x}+m_{x}\approx \log _{2}x-\sigma$ , тогда целочисленное представление числа $x$ можно приблизить как

I_{x}\equiv L(e_{x}+B+m_{x})\approx L\log _{2}x+L(B-\sigma )

Соответственно, $L\log _{2}x\approx I_{x}-L(B-\sigma )$ . 1️⃣

Проделаем это же^[4] для $y={\tfrac {1}{\sqrt {x}}}$ (соответственно $\log _{2}y=-{\tfrac {1}{2}}\log _{2}x$ )

-{\tfrac {1}{2}}L\log _{2}x\approx I_{y}-L(B-\sigma )

2️⃣

Соединив 1️⃣ и 2️⃣, получаем^[4]

-{\tfrac {1}{2}}[I_{x}-L(B-\sigma )]\approx I_{y}-L(B-\sigma )

y\approx I^{-1}\left[{\tfrac {3}{2}}L(B-\sigma )-{\tfrac {1}{2}}I_{x}\right]\equiv I^{-1}\left(Q-{\tfrac {1}{2}}I_{x}\right)

Это и есть формула первого приближения.

Магическая константа Q

Магическая константа $Q\equiv {\tfrac {3}{2}}L(B-\sigma )$ находится в пространстве компьютерных целых, но её дробное представление $I^{-1}(Q)$ также важно для исследователей. Его несмещённый порядок

e_{Q}=\left\lfloor {\tfrac {Q}{L}}-B\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {3L}{2L}}(B-\sigma )-B\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {B-3\sigma }{2}}\right\rfloor

.

Поскольку $\sigma <{\tfrac {1}{6}}$ , то независимо от чётности числа B

e_{Q}=\left\lfloor {\tfrac {B-1}{2}}\right\rfloor =63

Смещение порядка B нечётное, и полная мантисса числа $I^{-1}(Q)$ равняется

c\equiv 1+m_{Q}=1+\left\{{\tfrac {Q}{L}}\right\}=1+0{,}5-{\tfrac {3}{2}}\sigma \in (1{,}37;1{,}5

),

а в двоичной записи^[a] — 0|101.1111.0|01₁… (1 — неявная единица; 0,5 пришли из порядка; маленькая единица соответствует диапазону [1,375; 1,5) и потому крайне вероятна, но не гарантирована нашими прикидочными расчётами.)

Первое (кусочно-линейное) приближение быстрого обратного квадратного корня (c = 1,43)

Через константу c можно вычислить, чему равняется первое кусочно-линейное приближение^[16] (в источнике используется не сама мантисса, а её явная часть $m_{Q}\equiv t=c-1$ ):

Для $x\in [0{,}5;\;c-0{,}5)$ : $y_{01}=-x+t+{\tfrac {3}{2}}=-x+c+{\tfrac {1}{2}}$ ;
Для $x\in [c-0{,}5;\;1)$ : $y_{02}=-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}t+{\tfrac {5}{4}}=-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}c+{\tfrac {3}{4}}$ ;
Для $x\in [1;\;2)$ : $y_{03}=-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{2}}t+1=-{\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{2}}c+{\tfrac {1}{2}}$ .

На бо́льших или меньших $x$ результат пропорционально меняется: при учетверении $x$ результат уменьшается ровно вдвое.

Метод Ньютона

Метод Ньютона даёт^[16] $f(y)={\frac {1}{y^{2}}}-x$ , $f'(y)=-{\frac {2}{y^{3}}}$ , и $y_{n+1}=y_{n}-{\frac {f(y_{n})}{f'(y_{n})}}={\frac {y_{n}(3-xy_{n}^{2})}{2}}=y_{n}(1{,}5-0{,}5\,xy_{n}^{2})$ . Функция $f(y)$ убывает и выпукла вниз, на таких функциях метод Ньютона подбирается к истинному значению слева — потому алгоритм всегда занижает ответ.

После одного шага метода Ньютона результат получается довольно точный (+0 % −0,18 %)^[1]^[2], что для целей компьютерной графики более чем подходит (1⁄256 ≈ 0,39 %). Такая погрешность сохраняется на всём диапазоне нормированных дробных чисел. Два шага дают точность в 5 цифр^[1], после четырёх достигается погрешность double.

Метод Ньютона не гарантирует монотонности, но компьютерный перебор показывает, что монотонность всё-таки есть.

Исходный текст (C++)

#include <iostream>

union FloatInt {
    float asFloat;
    int32_t asInt;
};

int floatToInt(float x)
{
    FloatInt r;
    r.asFloat = x;
    return r.asInt;
}

float intToFloat(int x)
{
    FloatInt r;
    r.asInt = x;
    return r.asFloat;
}

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?
    y  = * ( float * ) &i;                      // i don't know, what the fuck!
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration

    return y;
}

int main()
{
    int iStart = floatToInt(1.0);
    int iEnd = floatToInt(4.0);
    std::cout << "Numbers to go: " << iEnd - iStart << std::endl;
    int nProblems = 0;
    float oldResult = std::numeric_limits<float>::infinity();

    for (int i = iStart; i <= iEnd; ++i) {
        float x = intToFloat(i);
        float result = Q_rsqrt(x);
        if (result > oldResult) {
            std::cout << "Found a problem on " << x << std::endl;
            ++nProblems;
        }
    }
    std::cout << "Total problems: " << nProblems << std::endl;

    return 0;
}

Существуют аналогичные алгоритмы для других степеней, например, квадратного или кубического корня^[4].

Мотивация

Поле нормалей: а) для призмы (угловатый объект); б) для низкополигонального цилиндра (шесть рёбер сглажены)^[17]

«Прямое» наложение освещения на трёхмерную модель, даже высокополигональную, даже с учётом закона Ламберта и других сложных формул отражения и рассеивания, сразу же выдаст полигональный вид — зритель увидит разницу в освещении по рёбрам многогранника^[17]. Иногда так и нужно — если предмет действительно угловатый. А для криволинейных предметов поступают так: в трёхмерной программе указывают, острое ребро или сглаженное^[17]. В зависимости от этого ещё при экспорте модели в игру по углам треугольников вычисляют нормаль единичной длины к криволинейной поверхности. При анимации и поворотах игра преобразует эти нормали вместе с остальными трёхмерными данными; при наложении освещения — интерполирует по всему треугольнику и нормализует (доводит до единичной длины).

Чтобы нормализовать вектор, надо разделить все три его компонента на длину. Или, что лучше, умножить их на величину, обратную длине: $(x',y',z')=(x,y,z){\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ . За секунду должны вычисляться миллионы этих корней. До того как было создано специальное аппаратное обеспечение для обработки трансформаций и освещения, программное обеспечение вычислений могло быть медленным. В частности, в начале 1990-х, когда код был разработан, большинство вычислений с плавающей запятой отставало по производительности от операций с целыми числами.

Quake III Arena использует алгоритм быстрого обратного квадратного корня для ускорения обработки графики центральным процессором, но с тех пор алгоритм уже был реализован в некоторых специализированных аппаратных вершинных шейдерах, используя специальные программируемые матрицы (FPGA).

Даже на компьютерах 2010-х годов, в зависимости от загрузки дробного сопроцессора, скорость может быть втрое-вчетверо выше, чем с использованием стандартных функций^[16].

Дальнейшие улучшения

При желании можно перебалансировать погрешность, умножив коэффициенты 1,5 и 0,5 на 1,0009, чтобы метод давал симметрично ±0,09 % — так поступили^[9] в игре Interstate ’76, которая также делает итерацию метода Ньютона.

Константа Уолша 0x5F3759DF ↔^[c] 1,4324301·2⁶³ оказалась очень хорошей. Крис Ломонт и Мэттью Робертсон незначительно уменьшили^[1]^[2] предельную относительную погрешность, отыскав перебором константу^[d] 0x5F375A86 ↔ 1,4324500·2⁶³, а для double — 0x5FE6EB50C7B537A9. Правда, для double алгоритм бессмысленный (не даёт выигрыша в точности по сравнению с float)^[2]. Константу Ломонта удалось получить и аналитически (c = 1,432450084790142642179)^[d], но расчёты довольно сложны^[2]^[16]. Крайний случай — константа Блинна 1,5 — даёт без перебалансировок и улучшений около −0,6 %^[8].

Чех Ян Ка́длец двоичным поиском, а затем перебором в окрестности найденного улучшил алгоритм^[18]. Его метод даёт в 1,3 раза меньшую симметричную погрешность — не ±0,09 %, а ±0,065.

float inv_sqrt(float x)
{ union { float f; uint32 u; } y = {x};
  y.u = 0x5F1FFFF9ul - (y.u >> 1);
  return 0.703952253f * y.f * (2.38924456f - x * y.f * y.f);
}

Вместо метода Ньютона можно использовать метод Галлея, в данной задаче эквивалентный методу Ньютона для уравнения $f(y)={\frac {1}{y^{1/2}}}-xy^{3/2}=0$ . Он точнее одного шага метода Ньютона, но не дотягивает до двух и требует деление^[18]:

y_{n+1}=y_{n}-{\frac {f(y_{n})}{f'(y_{n})}}=y_{n}\left({\frac {3+xy_{n}^{2}}{1+3xy_{n}^{2}}}\right),

где $xy_{n}^{2}$ нужно рассчитать всего один раз и сохранить во временной переменой.

Предложено необычное улучшение нулевого (без метода Ньютона) приближения: вычислить два обратных корня четвёртой степени с разными константами и перемножить их как дробные^[3].

↑ ¹ ² ³ Здесь и далее точки — границы полубайтов, вертикальные линии — границы полей компьютерного дробного.
↑ Здесь и далее ≡ означает «равно по определению».
↑ Здесь стрелка ↔ означает объяснённую выше биекцию двоичного представления целого числа и двоичного представления числа с плавающей запятой в формате IEEE 754.
↑ ¹ ² Неинтуитивное округление теоретического c=1,432450084… до 1,4324500 на самом деле двойное: сначала к ближайшему двоичному (0x3FB75A86 ≈ 1,432450056), а потом к самому круглому десятичному — единица младшего разряда равняется 1,19·10⁻⁷, и 1,19⁄2 > 0,56, так что 1,43245 — самое круглое, преобразующееся в 0x3FB75A86.

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 25 августа 2019. Архивировано 6 февраля 2009 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ https://web.archive.org/web/20140202234227/http://shelfflag.com/rsqrt.pdf
↑ ¹ ² The Truth about the Fast Inverse Square Root on the N64 - YouTube (неопр.). Дата обращения: 21 ноября 2023. Архивировано 21 ноября 2023 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Hummus and Magnets (неопр.). Дата обращения: 1 февраля 2017. Архивировано 13 января 2017 года.
↑ Источник (неопр.). Дата обращения: 9 апреля 2023. Архивировано 13 апреля 2023 года.
↑ Beyond3D — Origin of Quake3’s Fast InvSqrt() — Part Two (неопр.). Дата обращения: 25 августа 2019. Архивировано 25 августа 2019 года.
↑ Symplectic Spacewar » Cleve’s Corner: Cleve Moler on Mathematics and Computing - MATLAB & Simulink (неопр.). Дата обращения: 9 апреля 2023. Архивировано 9 апреля 2023 года.
↑ ¹ ² Floating-point tricks | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2022. Архивировано 17 августа 2022 года.. Копия на Yumpu Архивная копия от 9 апреля 2023 на Wayback Machine
↑ ¹ ² Fast reciprocal square root… in 1997?! — Shane Peelar’s Blog (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2022. Архивировано 11 октября 2022 года.
↑ Beyond3D — Origin of Quake3’s Fast InvSqrt() (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2019. Архивировано 10 апреля 2017 года.
↑ PFRSQRT — Вычислить приблизительное значение обратной величины квадратного корня от короткого вещественного значения — Club155.ru (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2019. Архивировано 16 октября 2019 года.
↑ RSQRTSS — Compute Reciprocal of Square Root of Scalar Single-Precision Floating-Point Value (неопр.). Дата обращения: 6 октября 2019. Архивировано 12 августа 2019 года.
↑ Some Assembly Required » Blog Archive » Timing square root
↑ z88dk/libsrc/_DEVELOPMENT/math/float/math32 at master · z88dk/z88dk · GitHub (неопр.). Дата обращения: 9 апреля 2023. Архивировано 9 апреля 2023 года.
↑ https://web.archive.org/web/20150511044204/http://www.daxia.com/bibis/upload/406Fast_Inverse_Square_Root.pdf
↑ ¹ ² ³ ⁴ Швидке обчислення оберненого квадратного кореня з використанням магічної константи — аналітичний підхід (неопр.). Дата обращения: 12 июня 2022. Архивировано 17 апреля 2022 года.
↑ ¹ ² ³ Это норма: что такое карты нормалей и как они работают / Хабр (неопр.). Дата обращения: 4 июля 2022. Архивировано 10 июля 2020 года.
↑ ¹ ² Řrřlog :: Improving the fast inverse square root (неопр.). Дата обращения: 8 апреля 2023. Архивировано 8 апреля 2023 года.

Ссылки

C. Lomont, Fast inverse square root, Technical Report, 2003.
A Brief History of InvSqrt by Matthew Robertson
0x5f3759df, further investigations into accuracy and generalizability of the algorithm by Christian Plesner Hansen

[dots-15] ¹ ² ³ Здесь и далее точки — границы полубайтов, вертикальные линии — границы полей компьютерного дробного.

[16] Здесь и далее ≡ означает «равно по определению».

[20] Здесь стрелка ↔ означает объяснённую выше биекцию двоичного представления целого числа и двоичного представления числа с плавающей запятой в формате IEEE 754.

[aa-21] ¹ ² Неинтуитивное округление теоретического c=1,432450084… до 1,4324500 на самом деле двойное: сначала к ближайшему двоичному (0x3FB75A86 ≈ 1,432450056), а потом к самому круглому десятичному — единица младшего разряда равняется 1,19·10⁻⁷, и 1,19⁄2 > 0,56, так что 1,43245 — самое круглое, преобразующееся в 0x3FB75A86.

[lomont-1] ¹ ² ³ ⁴ Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 25 августа 2019. Архивировано 6 февраля 2009 года.

[robertson-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ https://web.archive.org/web/20140202234227/http://shelfflag.com/rsqrt.pdf

[n64-3] ¹ ² The Truth about the Fast Inverse Square Root on the N64 - YouTube (неопр.). Дата обращения: 21 ноября 2023. Архивировано 21 ноября 2023 года.

[hummus-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Hummus and Magnets (неопр.). Дата обращения: 1 февраля 2017. Архивировано 13 января 2017 года.

[5] Источник (неопр.). Дата обращения: 9 апреля 2023. Архивировано 13 апреля 2023 года.

[6] Beyond3D — Origin of Quake3’s Fast InvSqrt() — Part Two (неопр.). Дата обращения: 25 августа 2019. Архивировано 25 августа 2019 года.

[7] Symplectic Spacewar » Cleve’s Corner: Cleve Moler on Mathematics and Computing - MATLAB & Simulink (неопр.). Дата обращения: 9 апреля 2023. Архивировано 9 апреля 2023 года.

[blinn-8] ¹ ² Floating-point tricks | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2022. Архивировано 17 августа 2022 года.. Копия на Yumpu Архивная копия от 9 апреля 2023 на Wayback Machine

[i76-9] ¹ ² Fast reciprocal square root… in 1997?! — Shane Peelar’s Blog (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2022. Архивировано 11 октября 2022 года.

[10] Beyond3D — Origin of Quake3’s Fast InvSqrt() (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2019. Архивировано 10 апреля 2017 года.

[11] PFRSQRT — Вычислить приблизительное значение обратной величины квадратного корня от короткого вещественного значения — Club155.ru (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2019. Архивировано 16 октября 2019 года.

[12] RSQRTSS — Compute Reciprocal of Square Root of Scalar Single-Precision Floating-Point Value (неопр.). Дата обращения: 6 октября 2019. Архивировано 12 августа 2019 года.

[timing-13] Some Assembly Required » Blog Archive » Timing square root

[14] z88dk/libsrc/_DEVELOPMENT/math/float/math32 at master · z88dk/z88dk · GitHub (неопр.). Дата обращения: 9 апреля 2023. Архивировано 9 апреля 2023 года.

[17] ttps://web.archive.org/web/20150511044204/http://www.daxia.com/bibis/upload/406Fast_Inverse_Square_Root.pdf

[moroz-18] ¹ ² ³ ⁴ Швидке обчислення оберненого квадратного кореня з використанням магічної константи — аналітичний підхід (неопр.). Дата обращения: 12 июня 2022. Архивировано 17 апреля 2022 года.

[normal_map-19] ¹ ² ³ Это норма: что такое карты нормалей и как они работают / Хабр (неопр.). Дата обращения: 4 июля 2022. Архивировано 10 июля 2020 года.

[kadlec-22] ¹ ² Řrřlog :: Improving the fast inverse square root (неопр.). Дата обращения: 8 апреля 2023. Архивировано 8 апреля 2023 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[a]

[b]

[15]

[16]

[17]

[c]

[d]

[18]

Быстрый обратный квадратный корень

Содержание

Алгоритм

История

Анализ и погрешность

Преобразование «дробное ↔ целое»

Первое приближение

Магическая константа Q

Метод Ньютона

Мотивация

Дальнейшие улучшения

Комментарии

Примечания

Ссылки

Быстрый обратный квадратный корень

Алгоритм

История

Анализ и погрешность

Преобразование «дробное ↔ целое»

Первое приближение

Магическая константа .mw-parser-output .ts-math{white-space:nowrap;font-family:times,serif,palatino linotype,new athena unicode,athena,gentium,code2000;font-size:120%}Q

Метод Ньютона

Мотивация

Дальнейшие улучшения

Комментарии

Примечания

Ссылки

Магическая константа Q