Букет окружностей

Букет окружностей (известный также как роза) — это топологическое пространство, полученное путём склеивания набора окружностей вокруг одной точки. Окружности букета иногда называются лепестками розы. Букеты окружностей важны в алгебраической топологии, где они тесно связаны со свободными группами.

Определение

Фундаментальная группа восьмёрки является свободной группой, сгенерированной элементами a и b

Букет окружностей является частным случаем букета пространств. То есть букет окружностей является факторпространством C/S, где C является несвязным объединением окружностей по множеству S, состоящему по одной точке из каждой окружности. Как клеточный комплекс букет окружностей имеет одну вершину и по одному ребру для каждой окружности. Это делает его простым примером топологического графа.

Букет из n окружностей может быть получена также путём отождествления n точек одной окружности. Букет из двух окружностей называется восьмёркой.

Связь со свободными группами

Универсальное накрытие восьмёрки может быть визуализировано графом Кэли свободной группы на двух генераторах a и b

Фундаментальная группа букета окружностей является свободной с одним генератором для каждого лепестка. Универсальное накрытие является бесконечным деревом, которое может быть отождествлён с графом Кэли свободной группы. (Это специальный случай комплекса презентаций^[англ.], ассоциированного с любым заданием группы.)

Промежуточные накрытия букета окружностей соответствуют подгруппам свободной группы. Наблюдение, что любое накрытие букета окружностей является графом, даёт простое доказательство, что любая подгруппа свободной группы свободна (теорема Нильсена — Шрейера^[англ.]).

Поскольку универсальное накрытие букета окружностей стягиваемо, букет окружностей является K(F,1) пространством для ассоциированной свободной группы F. Из этого следует, что когомология групп^[англ.] $H^{n}(F)$ тривиальна для $n\geqslant 2$ .

Другие свойства

Восьмёрка в торе

Любой связный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей. В частности, букет окружностей является факторпространством графа, полученного путём стягивания остовного дерева.
Шар с удалёнными n точками (или сфера с удалёнными $n+1$ точками) является деформационным ретрактом в букет окружностей с n лепестками. Одна из окружностей букета окружает каждую из удалённых точек.
Тор с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в восьмёрку, а именно объединением двух генерирующих окружностей. Более обще, поверхность рода g с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в букет окружностей с 2g лепестками, а именно в границу фундаментального многоугольника^[англ.].
Букет окружностей может иметь бесконечно много лепестков, что приводит к фундаментальной группе, которая свободна на бесконечно большом числе генераторов. Букет из счётного числа окружностей подобен гавайской серьге — имеется непрерывная биекция из букета окружностей в гавайскую серьгу, но они не гомеоморфны.

См. также

Примечания

Литература

Allen Hatcher. Algebraic topology. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.
James R. Munkres. Topology. — Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall, Inc, 2000. — ISBN 0-13-181629-2.
John Stillwell. Classical topology and combinatorial group theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1993. — ISBN 0-387-97970-0.