Уравнение четвёртой степени

Уравне́ние четвёртой сте́пени — в математике алгебраическое уравнение вида:

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.$

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция $f(x)$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если $a>0$, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если $a<0$, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ связаны с коэффициентами $a,\,b,\,c,\,d,\,e$ следующим образом:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.$

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

сводится к решению кубической резольвенты

$y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0.$

Корни резольвенты $y_{1},y_{2},y_{3}$ связаны с корнями исходного уравнения $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

$y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}),$

$y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}),$

$y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3}).$

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано.

Три формулы соотношений между $y_{i}$ и $x_{i}$ вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при $x^{3}$)

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0$

сделаем подстановку $x=y-{\frac {b}{4a}}$, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

$y^{4}+py^{2}+qy+r=0,$

где $p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},$

$q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},$

$r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.$

Корни $y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

$\pm {\sqrt {z_{1}}}$ $\pm {\sqrt {z_{2}}}$ $\pm {\sqrt {z_{3}}},$

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

$(\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}},$

причём $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$ — это корни кубического уравнения

$z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}}{64}}=0.$

Решение Феррари

Основная статья: Метод Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ может быть найдено по методу Феррари. Если $y_{1}$ — произвольный корень кубического уравнения

$y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0,$

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида $ax^{4}+bx^{2}+c=0$, где $a,b,c$ — заданные комплексные числа и $a\not =0$. Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой $y=x^{2};y\geqslant 0$ оно сводится к квадратному уравнению относительно $y$.

Четыре его корня находятся по формуле

$x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.$

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ такого, что $a\neq 0$, решение находится приведением к виду:

$a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0$,

После замены $t={x+{1 \over x}}$ ищется решение квадратного уравнения $at^{2}+bt+c-2a=0$, а затем — квадратного уравнения $x^{2}-tx+1=0$.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
• Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — М.: МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

• Решение Феррари (англ.). Дата обращения: 27 сентября 2009. Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Biquadratic equation (англ.) на сайте PlanetMath.