Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина $Y$ называется бесконечно делимой, если для любого $n\in \mathbb {N}$ она может быть представлена в виде

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}$,

где $\left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция $\phi _{Y}(t)$ бесконечно делимой случайной величины $Y$ имеет вид:

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$.

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения $\Phi (x)$ c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции $\phi (t)$ имел вид:

$\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2}}}dG(x)$,

где $\gamma$ — вещественная постоянная, а $G(x)$ — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть $\phi (t)$ — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $\mathbb {R}$. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, такая что

$\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)$

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$, где

$m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }$

для некоторого $\lambda >0$. Тогда случайная величина $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$, имеющая вид

$X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}$

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

Распределение $\mu$ на локально компактной абелевой группе $X$ называется бесконечно делимым, если для каждого натурального $n$ существует элемент $x_{n}\in X$ и распределение $\mu _{n}$ на $X$ такой, что $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}$, где $E_{x_{n}}$ - вырожденное распределение, сосредоточенное в $x_{n}$ (см. , ).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. также

• Устойчивое распределение.

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.