Фильтр (математика)

Фильтр — непустое подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее следующим двум условиям:

• если элемент $x$ входит в фильтр, то и любой элемент больший него тоже входит в фильтр;
• если два элемента $x,y$ входят в фильтр, то в него входит хотя бы один элемент $z$ такой, что $z\leq x,z\leq y$.

Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество $F$ полурешётки $L$ называется фильтром, если

• для всех $a,b\in F$, $a\land b\in F$
• для всех $a\in F$ и $b$ таких, что $a\leq b$, $b\in F$

Фильтр называется собственным, если $F\neq L$.

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр $F$ решётки называется простым, если в нём для всех $a,b\in L$ из того, что $a\lor b\in F$, следует, что либо $a\in F$, либо $b\in F$.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$.

Если $F$ фильтр, то $L\backslash F$ является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре $M$ называется подмножество $D\subseteq M$, для которого выполняются условия:

• $D\neq \varnothing$,
• $x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$,
• $x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$,
• $x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$.

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется ультрафильтром, если выполняется условие:

• $\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$.

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется простым, если он удовлетворяет условию:

• $\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$.

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на $M$.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества $X$ можно определить решётку его подмножеств $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$. Тогда фильтр ${\mathfrak {F}}$ на $X$ определяется как подмножество ${\mathcal {P}}(X)$, удовлетворяющее следующим условиям:

• ${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
• $\varnothing \notin {\mathfrak {F}}$
• пересечение любых двух элементов ${\mathfrak {F}}$ лежит в ${\mathfrak {F}}$
• надмножество любого элемента ${\mathfrak {F}}$ лежит в ${\mathfrak {F}}$

Фильтр вида ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ называется фильтром, порожденным множеством $Z$. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть ${\mathfrak {F}}$ — фильтр на множестве $X$. Семейство ${\mathfrak {B}}$ подмножеств $B\subset {\mathfrak {F}}$ называется базой (базисом) фильтра ${\mathfrak {F}}$, если любой элемент фильтра ${\mathfrak {F}}$ содержит некоторый элемент базы ${\mathfrak {B}}$, то есть для любого $Y\in {\mathfrak {F}}$ существует $B\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $B\subset Y$. При этом фильтр ${\mathfrak {F}}$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из ${\mathfrak {B}}$. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база ${\mathfrak {B}}$ порождает фильтр ${\mathfrak {F}}$

Для того, чтобы семейство ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ подмножеств множества $X$ являлось базой некоторого фильтра на $X$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

• ${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$;
• $\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$;
• для любых $A,B\in {\mathfrak {B}}$ существует $C\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $A\cap B\supset C$.

Две базы ${\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}'$ называются эквивалентными, если любой элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$, и наоборот, любой элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ содержит в себе некоторый элемент $B\in {\mathfrak {B}}$.

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе ${\mathfrak {B}}$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр ${\mathfrak {F}}$. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве $X$ заданы два фильтра ${\mathfrak {F}}$ и ${\mathfrak {F}}'$. Говорят, что фильтр ${\mathfrak {F}}'$ мажорирует фильтр ${\mathfrak {F}}$ (${\mathfrak {F}}'$ сильнее ${\mathfrak {F}}$, ${\mathfrak {F}}'$ тоньше ${\mathfrak {F}}$), если ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$. В этом случае также говорят, что фильтр ${\mathfrak {F}}$ мажорируется фильтром ${\mathfrak {F}}'$ (${\mathfrak {F}}$ слабее ${\mathfrak {F}}'$, ${\mathfrak {F}}$ грубее ${\mathfrak {F}}'$).

Говорят, что база ${\mathfrak {B}}'$ сильнее базы ${\mathfrak {B}}$, и записывают ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$, если любой элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$. База ${\mathfrak {B}}'$ сильнее базы ${\mathfrak {B}}$ тогда и только тогда, когда фильтр ${\mathfrak {F}}'$, порожденный базой ${\mathfrak {B}}'$, сильнее фильтра ${\mathfrak {F}}$, порожденного базой ${\mathfrak {B}}$.

Базы ${\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}'$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$.

Фильтры в топологических пространствах

Пусть $(X,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство и ${\mathfrak {F}}$ — фильтр на множестве $X$. Точка $a\in X$ называется пределом фильтра ${\mathfrak {F}}$, если любая окрестность $V(a)$ точки $a$ принадлежит фильтру ${\mathfrak {F}}$. Обозначение: $a\in \lim {\mathfrak {F}}$. Если $a$ является единственным пределом фильтра, то также пишут $a=\lim {\mathfrak {F}}$.

Для фильтра ${\mathfrak {F}}$, порожденного базой ${\mathfrak {B}}$, точка $a$ является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность $V(a)$ целиком содержит некоторое множество из ${\mathfrak {B}}$.

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка $a\in X$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра ${\mathfrak {F}}$, если $a$ принадлежит замыканию любого множества из ${\mathfrak {F}}$, то есть $a\in {\overline {Y}}$ для всех $Y\in {\mathfrak {F}}$. Равносильно, для любой окрестности $V(a)$ точки $a$ и для любого $Y\in {\mathfrak {F}}$ выполнено $V(a)\cap Y\neq \varnothing$. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если $X$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
• Если $X$ — бесконечное множество мощности ${\mathfrak {m}}$, то множество дополнений множеств мощности $<{\mathfrak {m}}$ тоже является фильтром.

См. также

• Предел функции вдоль фильтра
• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация

Литература

• Filter (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 13 апреля 2024.
• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — 336 с.
• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. — 240 с.