Алгебра Валя

Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Условию антисимметричности:

g(A,B)=-g(B,A)

для всех $A,B\in M$ .

2. Тождеству Валентины:

J(g(A_{1},A_{2}),g(A_{3},A_{4}),g(A_{5},A_{6}))=0

для всех $A_{k}\in M$ , где k=1,2,…,6, и

$J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).$

3. Условию билинейности:

g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)

для всех $A,B,C\in M$ и $a,b\in F$ .

Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.

Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру $M^{(-)}$ . При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.

Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Примеры алгебры Валентины

(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.

(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм

\alpha =F_{k}(x)\,dx^{k},\quad \beta =G_{k}(x)\,dx^{k}

на симплектическом многообразии, определяемая по правилу

(\alpha ,\beta )_{0}=d\Psi (\alpha ,\beta )+\Psi (d\alpha ,\beta )+\Psi (\alpha ,d\beta ),

где $(\alpha ,\beta )$ — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Если $\alpha$ и $\beta$ являются замкнутыми 1-формами, то $d\alpha =d\beta =0$ и

(\alpha ,\beta )=d\Psi (\alpha ,\beta ).

Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.

См. также

Литература

A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Архивная копия от 17 сентября 2011 на Wayback Machine
M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569–576 (In Russian)
Schafer, R.D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.
V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. Архивная копия от 1 марта 2012 на Wayback Machine ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» Архивная копия от 1 октября 2011 на Wayback Machine // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp. 168–178.]
Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Архивная копия от 13 октября 2008 на Wayback Machine